Вероятностное пространство


Вероятностное пространство

Вероя́тностное простра́нство — понятие, введённое А. Н. Колмогоровым в 30-х годах XX века для формализации понятия вероятности, которое дало начало бурному развитию теории вероятностей как строгой математической дисциплины.

Содержание

Определение

Вероятностное пространство — это тройка (\Omega,\mathfrak{F},\mathsf{P}) (иногда обрамляемая угловыми скобками: \langle,\rangle), где

Замечания

  • Элементарные события (элементы \Omega), по определению, — это исходы случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один.
  • Каждое случайное событие (элемент \mathfrak{F}) — это подмножество \Omega. Говорят, что в результате эксперимента произошло случайное событие A\subseteq\Omega, если (элементарный) исход эксперимента является элементом A.
    Требование, что \mathfrak{F} является сигма-алгеброй подмножеств \Omega, позволяет, в частности, говорить о вероятности случайного события, являющегося объединением счетного числа случайных событий, а также о вероятности дополнения любого события.

Конечные вероятностные пространства

Простым и часто используемым примером вероятностного пространства является конечное пространство. Пусть \Omega — конечное множество, содержащее \vert\Omega\vert = n элементов.

В качестве сигма-алгебры удобно взять семейство подмножеств \Omega. Его часто символически обозначают 2^{\Omega}. Легко показать, что общее число членов этого семейства, т.е. число различных случайных событий, как раз равно 2^{\vert \Omega \vert}, что объясняет обозначение.

Вероятность, вообще говоря, можно определять произвольно. Часто, однако, нет причин считать, что один элементарный исход чем-либо предпочтительнее другого. Тогда естественным способом ввести вероятность является:

\mathsf{P}(A) = \frac{n_A}{n},

где A\subset\Omega, и \vert A \vert = n_A - число элементарных исходов, принадлежащих A.

В частности, вероятность любого элементарного события:

 \mathsf{P}(\{\omega\}) = \frac{1}{n},\; \forall \omega \in \Omega.

Пример

Рассмотрим эксперимент с бросанием уравновешенной монеты. Естественным будет взять два события: выпадение герба (\Gamma) и выпадение решки (\mathrm{P}), то есть \Omega=\{\Gamma,\mathrm{P}\}. Тогда \mathfrak{F} = \{\{\Gamma\},\{\mathrm{P}\},\{\Gamma,\mathrm{P}\},\varnothing\}, и вероятность можно посчитать следующим образом:

 \mathsf{P}(\{\Gamma\}) = \frac{1}{2},\; \mathsf{P}(\{\mathrm{P}\}) = \frac{1}{2},\; \mathsf{P}(\{\Gamma,\mathrm{P}\}) = 1,\; \mathsf{P}(\varnothing) = 0.

Таким образом определена тройка (\Omega,\mathfrak{F},\mathsf{P}) — вероятностное пространство, в рамках которого можно рассматривать различные задачи.


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Вероятностное пространство" в других словарях:

  • ВЕРОЯТНОСТНОЕ ПРОСТРАНСТВО — поле вероятностей, совокупность непустого множества , класса подмножеств множества Q, являющегося борелевским полем (т. е. замкнутым относительно теоретико множественных операций, производимых в счетном числе) и распределения ( вероятностной… …   Математическая энциклопедия

  • Пространство (физика) — Пространство понятие, используемое (непосредственно или в составе сложных терминов) в естественных языках, а также в таких разделах знания, как философия, математика, физика и т. п. На уровне повседневного восприятия пространство интуитивно… …   Википедия

  • Пространство (значения) — Пространство понятие, используемое (непосредственно или в словосочетаниях) в обыденной речи, а также в различных разделах знаний. Пространство на уровне повседневного восприятия Математика Трёхмерное пространство Аффинное пространство Банахово… …   Википедия

  • Пространство (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Пространство. В математике слово «пространство» употребляется в большом наборе сложных терминов. Грубо говоря, пространство есть множество с некоторой дополнительной структурой. В зависимости от… …   Википедия

  • Пространство элементарных событий — Пространство элементарных событий  множество всех различных исходов случайного эксперимента. Элемент этого множества называется элементарным событием или исходом. Пространство элементарных событий называется дискретным, если число его… …   Википедия

  • РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ (ВЕРОЯТНОСТНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ) — одно из основных понятий теории вероятностей (см.) и статистики математической (см.). При современном подходе в качестве математич. модели изучаемого случайного явления берется соответствующее вероятностное пространство { F 1, S, Р), где Q… …   Российская социологическая энциклопедия

  • ВЫБОРОЧНОЕ ПРОСТРАНСТВО — множество всех элементарных событии, связанных с нек рым экспериментом, причем любой неразложимый исход эксперимента представляется одной и только одной точкой В. п. (выборочной точкой). В. п. является абстрактным множеством, на алгебре… …   Математическая энциклопедия

  • Неравенство Гёльдера — в функциональном анализе и смежных дисциплинах  это фундаментальное свойство пространств . Содержание 1 Формулировка 2 Доказательство …   Википедия

  • Неравенство Минковского — это неравенство треугольника для пространств функций с интегрируемой ой степенью. Содержание 1 Формулировка 2 Доказательство …   Википедия

  • Гёльдера неравенство — Неравенство Гёльдера в функциональном анализе и смежных дисциплинах  это фундаментальное свойство пространств Lp. Содержание 1 Формулировка 2 Частные случаи 2.1 Неравен …   Википедия

Книги

Другие книги по запросу «Вероятностное пространство» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.