- Вероятностное пространство
-
Вероя́тностное простра́нство — понятие, введённое А. Н. Колмогоровым в 30-х годах XX века для формализации понятия вероятности, которое дало начало бурному развитию теории вероятностей как строгой математической дисциплины.
Содержание
Определение
Вероятностное пространство — это тройка
(иногда обрамляемая угловыми скобками:
), где
— это произвольное множество, элементы которого называются элементарными событиями, исходами или точками;
— сигма-алгебра подмножеств
, называемых (случайными) событиями;
— вероятностная мера или вероятность, т.е. сигма-аддитивная конечная мера, такая что
.
Замечания
- Элементарные события (элементы
), по определению, — это исходы случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один.
- Каждое случайное событие (элемент
) — это подмножество
. Говорят, что в результате эксперимента произошло случайное событие
, если (элементарный) исход эксперимента является элементом
.
Требование, чтоявляется сигма-алгеброй подмножеств
, позволяет, в частности, говорить о вероятности случайного события, являющегося объединением счетного числа случайных событий, а также о вероятности дополнения любого события.
Конечные вероятностные пространства
Простым и часто используемым примером вероятностного пространства является конечное пространство. Пусть
— конечное множество, содержащее
элементов.
В качестве сигма-алгебры удобно взять семейство подмножеств
. Его часто символически обозначают
. Легко показать, что общее число членов этого семейства, т.е. число различных случайных событий, как раз равно
, что объясняет обозначение.
Вероятность, вообще говоря, можно определять произвольно. Часто, однако, нет причин считать, что один элементарный исход чем-либо предпочтительнее другого. Тогда естественным способом ввести вероятность является:
,
где
, и
- число элементарных исходов, принадлежащих
.
В частности, вероятность любого элементарного события:
Пример
Рассмотрим эксперимент с бросанием уравновешенной монеты. Естественным будет взять два события: выпадение герба (
) и выпадение решки (
), то есть
Тогда
и вероятность можно посчитать следующим образом:
Таким образом определена тройка
— вероятностное пространство, в рамках которого можно рассматривать различные задачи.
Категория:- Теория вероятностей
Wikimedia Foundation. 2010.