Разрыв второго рода

Разрыв второго рода

Непреры́вное отображе́ние или непрерывная функция — это такое отображение, у которого небольшие изменения аргумента приводят к небольшим изменениям значения отображения.

Это понятие определятся немного по-разному в различных разделах математики; наиболее общее определение используется в общей топологии.

Содержание

Определения

Непрерывная числовая функция

  • Пусть дана функция f\colon M\subset\R\to\R, и a\in M. Тогда говорят, что f непрерывна в точке a и пишут f \in C(a), если \forall \varepsilon > 0\; \exists \delta > 0\; \forall x\in M
    (|x-a| < \delta) \Rightarrow (|f(x)-f(a)| < \varepsilon).
  • Пусть дано подмножество N\subset M. Тогда говорят, что f непрерывна на N и пишут f\in C(N), если
    \forall a \in N\quad f\in C(a).

Непрерывное отображение из Rm в Rn

Обобщая одномерный случай, функция f\colon M \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n называется непрерывной в точке a \in M, если \forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0 \; \forall x \in M

\bigl(\|x-a\|_m < \delta\bigr) \Rightarrow \bigl(\|f(x) - f(a)\|_n < \varepsilon\bigr),

где

\|x\|_k \equiv \sqrt{\sum\limits_{i=1}^k x_i^2},\quad x = (x_1,\ldots,x_k)^{\top} \in \mathbb{R}^k — евклидова норма в \mathbb{R}^k.

Непрерывное отображение метрических пространств

В предыдущем определении наличие операции вычитания, точнее линейной структуры, в евклидовых пространствах не играет принципиальной роли. Достаточно лишь иметь возможность измерять расстояния. Множества, на которых указан способ измерять расстояния, называются метрическими пространствами. Отображение f\colon X \to Y метрического пространства (XX) в метрическое пространство (YY) называется непрерывным в точке a, если \forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0 \;
\forall x \in X

\Big(\rho_X(x,a) < \delta\Big) \Rightarrow \Big( \rho_Y \bigl(f(x), f(a)\bigr)< \varepsilon \Big).

Непрерывное отображение топологических пространств

В предыдущих определениях важно не наличие точной меры расстояния, а лишь понятия близости. Непрерывное отображение переводит близкие точки в близкие. Множество, в котором указан некоторый набор подмножеств \mathcal{T}, позволяющий говорить о близких точках, называется топологическим пространством. Отображение f\colon X \to Y топологического пространства (X,\mathcal{T}_X) в топологическое пространство (Y,\mathcal{T}_Y) называется непрерывным, если прообраз любого открытого множества открыт:

\forall V \in \mathcal{T}_Y \quad f^{-1}(V) \in \mathcal{T}_X.

Связанные определения

Если функция не является непрерывной в точке a, то говорят, что она в ней разры́вна и пишут f \not\in C(a). Согласно замечанию выше функция может быть разрывной только в предельной точке области определения, и справедливо одно из двух:

  1. Либо предел \lim\limits_{x\to a} f(x) не существует;
  2. Либо он существует, но \lim\limits_{x\to a} f(x) \neq f(a).


Пусть существует \lim\limits_{x\to a} f(x), но a \not\in M или \lim\limits_{x\to a} f(x) \neq f(a). Тогда a называется то́чкой устрани́мого разры́ва. Положив f(a) = \lim\limits_{x\to a} f(x), можно добиться непрерывности функции в этой точке. Такое изменение значения функции в точке, превращающее функцию в непрерывную в этой точке, называется доопределением по непрерывности.

Пусть не сущестует двусторонний предел \lim\limits_{x\to a} f(x), но существуют конечные (и различные) односторонние пределы \lim\limits_{x\to a-} f(x) и \lim\limits_{x\to a+} f(x). Тогда f\not\in C(a), и a называется то́чкой разры́ва пе́рвого ро́да.

Если f\not\in C(a), и a не является точкой устранимого разрыва или разрыва первого рода, то есть хотя бы один односторонний предел не существует или бесконечен, то она называется то́чкой разры́ва второ́го ро́да.

Свойства

\left(a \in M\setminus M'\right) \Rightarrow \bigl(f\in C(a)\bigr).
  • В предельной точке области определения непрерывность функции эквивалентна существованию предела, равного значению функции в точке:
\bigl( a\in M \cap M' \bigr) \Rightarrow \bigl( f\in C(a) \Leftrightarrow \lim\limits_{x \to a}f(x) = f(a)\bigr).

Вещественнозначаные функции

  • Функция сохраняет знак в окрестности точки непрерывности. Пусть f\in C(a),\; f(a) > 0. Тогда существует окрестность U(a) такая, что
\forall x \in U(a)\cap M\quad f(x) > 0.

Примеры

f(x) = \left\{
\begin{matrix}
\frac{\sin x}{x}, & x \neq 0 \\
0, & x = 0
\end{matrix}
\right.

непрерывна в любой точке x \neq 0. Точка x = 0 является точкой устранимого разрыва, ибо

\lim\limits_{x \to 0} f(x) = \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \neq 0 = f(0).
f(x) = \sgn x = \left\{
\begin{matrix}
-1, & x < 0 \\
0, & x = 0 \\
1, & x > 0
\end{matrix}
\right.,\; x\in \mathbb{R}

непрерывна в любом x \neq 0. Точка x = 0 является точкой разрыва первого рода, ибо

\lim\limits_{x \to 0-}f(x) = -1 \neq 1 = \lim\limits_{x \to 0+}f(x)
.

непрерывна в любом x \neq 0.

Вариации и бобщения

Односторнняя непрерывность

  • Пусть дана функция f:M\subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}, и a\in M. Тогда говорят, что f непреры́вна спра́ва в точке a, если \forall \varepsilon > 0\; \exists \delta > 0\; \forall x\in M
    (|x-a| < \delta \wedge x\ge a) \Rightarrow (|f(x)-f(a)| < \varepsilon).
  • Говорят, что f непреры́вна сле́ва в точке a, если \forall \varepsilon > 0\; \exists \delta > 0\; \forall x\in M
    (|x-a| < \delta \wedge x\le a) \Rightarrow (|f(x)-f(a)| < \varepsilon).


Замечания

  • Функция непрерывна тогда и только тогда, когда она непрерывна одновременно справа и слева.
  • Функция непрерывна справа в предельной точке области определения тогда и только тогда, когда существует правосторонний предел
\lim\limits_{x \to a+}f(x) = f(a).
  • Функция непрерывна слева в предельной точке области определения тогда и только тогда, когда существует левосторонний предел
(\lim\limits_{x \to a-}f(x) = f(a)).
  • Все базовые свойства непрерывных функций переносятся на односторонне непрерывные функции.

Примеры

  • Функция
f(x) = \left\{
\begin{matrix}
1,& x \geqslant 0\\
0, & x < 0
\end{matrix}
\right.,\quad x\in \mathbb{R}

непрерывна справа (но не слева) в точке x = 0. Во всех других точках она непрерывна.


См. также


Wikimedia Foundation. 2010.

Нужно решить контрольную?

Полезное


Смотреть что такое "Разрыв второго рода" в других словарях:

  • разрыв второго рода — — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN ordinary discontinuity …   Справочник технического переводчика

  • Фазовые переходы второго рода — фазовые переходы, при которых первые производные термодинамических потенциалов по давлению и температуре изменяются непрерывно, тогда как их вторые производные испытывают скачок. Отсюда следует, в частности, что энергия и объём вещества при… …   Википедия

  • Разрыв — Разрыв  нарушение непрерывности, целостности, повреждение. Например: Разрыв первого рода и второго рода у функций Произвольный разрыв в механике сплошных сред Разрыв  повреждение мягких тканей организма Геологический разлом, или разрыв… …   Википедия

  • Одномерное стационарное уравнение Шрёдингера — Одномерное стационарное уравнение Шрёдингера  линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка вида где   постоянная Планка,   масса частицы,   потенциальная энергия,   полная энергия …   Википедия

  • Одномерное стационарное уравнение Шредингера — Одномерное стационарное уравнение Шрёдингера линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка вида где постоянная Планка, масса частицы, потенциальная энергия, полная энергия …   Википедия

  • Пространство Соболева — (в математике)  функциональное пространство, состоящее из функций из пространства Лебега ( ), имеющих обобщенные производные заданного порядка из . При пространства Соболева являются банаховыми пространствами, а при p=2 пространства Соболева …   Википедия

  • Волновая функция —     Квантовая механика …   Википедия

  • Пси-функция — Квантовая механика Принцип неопределённости Введение ... Математическая формулировка ... Основа …   Википедия

  • Свойства волновой функции — Квантовая механика Принцип неопределённости Введение ... Математическая формулировка ... Основа …   Википедия

  • НУЛЬ - ЕДИНИЦА ЗАКОН — утверждение в теории вероятностей о том, что всякое событие (т. н. остаточное событие ), наступление к рого определяется лишь сколь угодно удаленными элементами последовательности независимых случайных событий или случайных величин, имеет… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»