Односторонний предел

Односторо́нний преде́л в математическом анализе — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторо́нним преде́лом (или преде́лом сле́ва) и правосторо́нним преде́лом (преде́лом спра́ва).

Определения

Пусть на некотором числовом множестве $M \in \R$ задана числовая функция $f \colon M \to \R$ и число $~a$ — предельная точка области определения $~M$. Существуют различные определения для односторонних пределов функции $~f \left( x \right)$ в точке $~a$, но все они эквивалентны.

Односторонний предел по Гейне

• Число $A \in \R$ называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции $~f \left( x \right)$ в точке $~a$, если для всякой последовательности $\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}$, состоящей из точек, больших числа $~a$, которая сама сходится к числу $~a$, соответствующая последовательность значений функции $\left\{ f \left( x_n \right) \right\}_{n = 1}^{\infty}$ сходится к числу $~A$.

  $\lim_{x \to a+} f \left( x \right) = A \Leftrightarrow \forall \left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty} \colon \left( \forall k \in \N \colon x_k > a \right) \land \lim_{n \to \infty} x_n = a \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \left\{ f \left( x_n \right) \right\}_{n = 1}^{\infty} = A$

• Число $A \in \R$ называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции $~f \left( x \right)$ в точке $~a$, если для всякой последовательности $\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}$, состоящей из точек, меньших числа $~a$, которая сама сходится к числу $~a$, соответствующая последовательность значений функции $\left\{ f \left( x_n \right) \right\}_{n = 1}^{\infty}$ сходится к числу $~A$.^[1]

  $\lim_{x \to a-} f \left( x \right) = A \Leftrightarrow \forall \left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty} \colon \left( \forall k \in \N \colon x_k < a \right) \land \lim_{n \to \infty} x_n = a \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \left\{ f \left( x_n \right) \right\}_{n = 1}^{\infty} = A$

Односторонний предел по Коши

• Число $A \in \R$ называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции $~f \left( x \right)$ в точке $~a$, если для всякого положительного числа $~\varepsilon$ отыщется отвечающее ему положительное число $~\delta$ такое, что для всех точек $~x$ из интервала $\left( a, a + \delta \right)$ справедливо неравенство $\left| f \left( x \right) - A \right| < \varepsilon$.

  $\lim_{x \to a+} f \left( x \right) = A \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 ~ \exists \delta = \delta \left( \varepsilon \right) > 0 ~ \forall x \in \left( a, a + \delta \right) \colon \left| f \left( x \right) - A \right| < \varepsilon$

• Число $A \in \R$ называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции $~f \left( x \right)$ в точке $~a$, если для всякого положительного числа $~\varepsilon$ отыщется отвечающее ему положительное число $~\delta$, такое, что для всех точек $~x$ из интервала $\left( a - \delta, a \right)$ справедливо неравенство $\left| f \left( x \right) - A \right| < \varepsilon$.^[1]

  $\lim_{x \to a-} f \left( x \right) = A \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 ~ \exists \delta = \delta \left( \varepsilon \right) > 0 ~ \forall x \in \left( a - \delta, a \right) \colon \left| f \left( x \right) - A \right| < \varepsilon$

Односторонний предел как предел вдоль фильтра

Односторонний предел является частным случаем общего понятия предела функции вдоль фильтра. Пусть $M \subset \mathbb{R},$ и $a \in M'.$ Тогда системы множеств

$\mathfrak{B}_+ = \{ (a, a + \delta) \cap M \mid \delta > 0 \}$

и

$\mathfrak{B}_- = \{ (a - \delta, a) \cap M \mid \delta > 0 \}$

являются фильтрами. Пределы вдоль этих фильтров совпадают с соответствующими односторонними пределами:

$\lim\limits_{\mathfrak{B}_+} f(x) \equiv \lim\limits_{x\to a+}f(x);$

$\lim\limits_{\mathfrak{B}_-} f(x) \equiv \lim\limits_{x\to a-}f(x).$

Обозначения

• Правосторонний предел принято обозначать любым из нижеследующих способов:

  $\lim\limits_{x\to a+}f(x),\ \ \lim\limits_{x\to a+0}f(x),\ \ \lim_{x \downarrow a} f(x),\ \ \lim_{x \searrow a} f(x);$

• Аналогичным образом для левосторонних пределов приняты обозначения:

  $\lim\limits_{x\to a-}f(x),\ \ \lim\limits_{x\to a-0}f(x),\ \ \lim_{x \uparrow a} f(x),\ \ \lim_{x \nearrow a} f(x).$

• При этом используются также сокращённые обозначения:
  • $f \left( a+ \right)$ и $f \left( a + 0 \right)$ для правого предела;
  • $f \left( a- \right)$ и $f \left( a - 0 \right)$ для левого предела.

Свойства

• Основные свойства односторонних пределов идентичны свойствам обычных пределов и являются частными случаями свойств пределов вдоль фильтра.
• Для существования (двустороннего) предела функции необходимо и достаточно, чтобы оба односторонних предела существовали и равнялись между собой.^[1]

Примеры

Функция из второго примера

• Тождественная числовая функция
  • $f \left( x \right) = x$
  • Область определения: $\R$
  • Правый предел: $\forall a \in \R \colon \lim_{x \to a + 0} x = a$
  • Левый предел: $\forall a \in \R \colon \lim_{x \to a - 0} x = a$
  • Правый и левый пределы совпадают, так что имеется обычный предел: $\forall a \in \R \colon \lim_{x \to a} x = a$
• Кусочно-заданная функция
  • $f \left( x \right) = \begin{cases} x^2, & x < 3 \\ 11 - \left( x - 3 \right)^2, & x > 3 \end{cases}$
  • Область определения: $\R \setminus \left\{ 3 \right\}$
  • Правый предел: $\lim_{x \to 3 + 0} f \left( x \right) = 11$
  • Левый предел: $\lim_{ x \to 3 - 0} f \left( x \right) = 9$
  • Правый и левый пределы различны, так что обычного предела в точке $~x=3$ не существует
• Функция sgn(x)
  • $f \left( x \right) = \begin{cases} 0, & x = 0 \\ \frac{x}{\left| x \right|}, & x \neq 0 \end{cases}$
  • Область определения: $\R$
  • Правый предел: $\lim_{x \to 0 + 0} \sgn \left( x \right) = +1$
  • Левый предел: $\lim_{ x \to 0 - 0} \sgn \left( x \right) = -1$
  • Правый и левый пределы различны, так что обычного предела в точке $~x=0$ не существует

См. также

• Предел функции

Примечания

1. ↑ ^{1 2 3} В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 3. Теория пределов // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 105 — 121. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7