Пространство непрерывных функций

Пространство непрерывных функций — линейное нормированное пространство, элементами которого являются непрерывные на отрезке $[a,b]$ функции (обычно обозначается ${\mathrm C}[a,b]$, иногда $C^0[a,b]$ или $C^{(0)}[a,b]$) . Норма в этом пространстве определяется следующим образом:

$||x||_{{\mathbf C}[a,b]}=\max_{t\in [a,b]}|x(t)|$

Эту норму также называют нормой Чебышёва или равномерной нормой, так как сходимость по этой норме эквивалентна равномерной сходимости.

Свойства

• Если последовательность $x_n$ элементов из ${\mathbf C}$$[a,b]$ сходится в этом пространстве к некоторой предельной функции $x(t)$, то $\displaystyle{x_n \stackrel{t\in [a,b]}\rightrightarrows x}$ при $n\to\infty$.
  • Отсюда: ${\mathrm C}$$[a,b]$ — банахово пространство.
• Пространство непрерывных функций сепарабельно: счётное всюду плотное множество в нём образует множество всех многочленов с рациональными коэффициентами. Это утверждение получается как следствие аппроксимационной теоремы Вейерштрасса.
• В ${\mathrm C}$$[a,b]$ не выполняется тождество параллелограмма, поэтому норма в нём не порождает никакого скалярного произведения.

Вариации и обобщения

Аналогичным образом это пространство строится так же и над областями и их замыканиями. В случае некомпактного множества максимум надо заменить на точную верхнюю грань.

Итак, пространством непрерывных ограниченных функций (вектор-функций) ${\mathbf C}(X)$ называется множество всех непрерывных ограниченных функций $x:X\to Y$ со введённой на нём нормой:

$||x||_{{\mathbf C}(X)}=\sup_{t\in X}\|x(t)\|_{Y}.$

---

Наряду с чебышёвской нормой часто рассматривается пространство непрерывных функций с интегральной нормой:

$||x||=\int\limits_a^b |x(t)|\,dt$

В смысле этой нормы пространство непрерывных на отрезке функций уже не образует полного линейного пространства. Фундаментальной, но не сходящейся в нем является, например, последовательность $x_n$

$x_n(t)= \begin{cases} 1,\quad t\ge\frac{1}{n}\\ nt,\quad t\in(-\frac{1}{n},\frac{1}{n})\\ -1,\quad t\le-\frac{1}{n} \end{cases}$

Его пополнение есть $L_1[a,b]$ — пространство суммируемых функций.

Литература

• А. Н. Колмогоров, С. И. Фомин Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 2004.
• Л. А. Люстерник, В. В. Соболев Элементы функционального анализа. — М.: Наука, 1965.
• M. Reed, B. Simon Methods of modern mathematicals physics. Vol.1 Functional Analysis. — New York London: Academic Press, 1973.
• К. Иосида Функциональный анализ. — М.: Мир, 1967.