НУЛЬ - ЕДИНИЦА ЗАКОН

- утверждение в теории вероятностей о том, что всякое событие (т. н. "остаточное событие"), наступление к-рого определяется лишь сколь угодно удаленными элементами последовательности независимых случайных событий или случайных величин, имеет вероятность нуль пли единица. Этот закон распространяется на системы случайных величин, зависящих от непрерывного параметра (см. ниже).

Для отдельных остаточных событий равенство их вероятностей нулю или единице было установлено в нач. 20 в. Так, если - нек-рая последовательность независимых событий, то для остаточного события А, состоящего в том, что наступает бесконечно много событий :

обязательность одного из равенств

или

была отмечена Э. Борелем [1]. Простым подсчетом было показано, что

(см. Бореля- Кантелли лемма).

Далее, если -последовательность независимых случайных величин, то вероятность сходимости ряда может быть равна только нулю или единице; этот факт (одновременно с критерием, позволяющим различать эти два случая) был установлен А. Н. Колмогоровым (1928, см. [2], [5]).

Изучались и остаточные события, связанные с аналитич. свойствами сумм функциональных рядов, напр, степенных рядов со случайными членами. Так, расплывчатому утверждению О. Бореля (1896) о том, что при "произвольных коэффициентах" граница круга сходимости степенного ряда является естественной границей представляемой им аналитич. ции, была придана X. Штейнхаузом [3] следующая точная форма. Пусть - независимые равномерно распределенные на (0, 1) случайные величины,- заданные числа и пусть ряд

имеет радиус сходимости ; тогда (остаточное) событие, состоящее в том, что функция f не продолжима через границу круга , имеет вероятность, равную единице. Б. Йессен [4] доказал, что любое остаточное событие, связанное с последовательностью независимых равномерно распределенных на (0, 1) случайных величин, имеет вероятность, равную нулю или единице. Общая теорема о вероятностях, равных .нулю или единице, была сформулирована А. Н. Колмогоровым (см. [5J) следующим образом. Пусть - какая-либо последовательность случайных величин, а - бэровская функция переменных такая, что условная вероятность

соотношения

при известных ппервых величинах остается равной абсолютной (безусловной) вероятности

для каждого п. При этих условиях вероятность (*) равна нулю или единице. Для независимых Х _п , . . . отсюда вытекает Н.-е. з., как он сформулирован в начале статьи.

Указанная теорема Колмогорова вытекает, как показал П. Леви (1937, см. [6]), из более общего свойства условных вероятностей, состоящего в том, что почти наверное равен или единице или нулю (в соответствии с тем, будет ли

или нет). В свою очередь, это утверждение вытекает из теорем о мартингалах (см. [7] гл. III, ; гл. VII, и комментарии к ним; в имеется аналог Н.- е. з. для случайных процессов с независимыми приращениями; из него вытекает, в частности, что выборочные функции сепарабельного гауссовского процесса с непрерывной корреляционной функцией с вероятностью 1 непрерывны в каждой точке либо с вероятностью 1 имеют разрыв второго рода в каждой точке, см. [8]).

Для специального случая последовательности независимых и одинаково распределенных случайных величин было показано (см. [9]), что вероятность не только любого остаточного, но и любого инвариантного относительно перестановок конечного числа членов последовательности события равна нулю или единице.

Лит.:[1] Borel E., "Rend. Circolo mat. Palermo", 1909, v. 27, p. 247-71; [2] Колмогоров А. Н., "Math. Лип.",1928, Bd 99, S. 309-19; [3] Steinhaus H., "Math. Z.", 1929, Bd 31, S. 408-16; [4] Jessen В., "Acta math.", 1934, v. 63, p. 249-323; M Колмогоров А. Н., Основные понятия теории вероятностей, 2 изд., М., 1974; [6] Levy P., Theorie de l'addltion des variable aleatoires, 2 ed., P., 1954; [7] Дуб Д ж., Вероятностные процессы, пер. с англ., М., 1956; [8] Добр у шин Р. Л., "Теория вероятн. и ее применения", 1960, т. 5, ДV. 1, с. 132-34; [9] Неwitt E., Savage L. J., "Trans. Amer. Math. Soc", 1955, v. 80, № 2, p. 470-501.

А. В. Прохоров, Ю. В. Прохоров.