Открытое множество

Открытое множество

Откры́тое мно́жество — это множество, каждый элемент которого входит в него вместе с некоторой окрестностью. Открытое множество является фундаментальным понятием общей топологии.

Термин «открытое множество» применяется к подмножествам топологических пространств и никак не характеризует «само» множество (ни в смысле теории множеств, ни даже в смысле индуцированной на нём топологической структуры). [1] [2]

Содержание

Евклидово пространство

Пусть U \subset \mathbb{R}^n есть некоторое подмножество евклидова пространства. Тогда U называется открытым, если \forall x_0 \in U \; \exists \varepsilon > 0, такое что V_{\varepsilon}(x_0) \subset U, где V_{\varepsilon}(x_0) \equiv \left\{x \in \mathbb{R}^n:\|x - x_0 \| < \varepsilon\right\}ε-окрестность точки x_0. Иными словами, множество открыто, если любая его точка является внутренней.

Например, промежуток как подмножество действительной прямой является открытым множеством.

Метрическое пространство

Пусть  (X,\rho) — некоторое метрическое пространство, и U \subset X. Тогда U называется открытым, если \forall x_0 \in U \; \exists \varepsilon > 0, такое что V_{\varepsilon}(x_0) \subset U, где V_{\varepsilon}(x_0) \equiv \{x \in X \mid \rho(x,x_0) < \varepsilon\} — ε-окрестность точки x_0 относительно метрики \rho.

Топологическое пространство

Обобщением приведённых выше определений является понятие открытого множества из общей топологии.

Топологическое пространство (X,\mathcal{T}) по определению содержит «перечень» своих открытых подмножеств \mathcal{T}«топологию», определённую на X. Подмножество U \subset X, такое, что оно является элементом топологии (то есть U \in \mathcal{T}), называется открытым множеством относительно топологии \mathcal{T}.

См. также

Сноски

  1. Appert, Antoine Sur le meilleur terme primitif en topologie // Cahiers du séminaire d'histoire des mathématiques. — 1982. — № 3. — С. 65.  (фр.)
  2. open set на everything2.com  (англ.)

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Открытое множество" в других словарях:

  • Открытое множество —         точечное множество, не содержащее предельных точек (См. Предельная точка) дополнительного к нему множества (см. Множеств теория). Любая точка О. м. является внутренней, т. е. имеет Окрестность, содержащуюся целиком в О. м. Наряду с… …   Большая советская энциклопедия

  • ОТКРЫТОЕ МНОЖЕСТВО — топологического пространства элемент топологии этого пространства. Подробнее, пусть топология t топологич. пространства (X, t) определяется как такая система т подмножеств множества X, что: 1) 2) если i=l, 2, то , 3) если , то ; тогда открытыми… …   Математическая энциклопедия

  • Открытое множество (топология) — Открытое множество в математическом анализе, геометрии это множество, каждая точка которого входит в него вместе с некоторой окрестностью. Открытое множество также является фундаментальным понятием общей топологии. Термин «открытое множество»… …   Википедия

  • Множество Жюлиа — Множество Жюлиа. Точнее, это не само множество (которое в данном случае состоит из несвязных точек и не может быть нарисовано), а точки из его окрестности. Чем ярче точка, тем ближе она к множеству Жюлиа и тем больше итераций ей нужно, чтобы уйти …   Википедия

  • Множество Джулия — Множество Жюлиа Множество Жюлиа В голоморфной динамике, множество Жюлиа рационального отображения …   Википедия

  • Множество Фату — Множество Жюлиа Множество Жюлиа В голоморфной динамике, множество Жюлиа рационального отображения …   Википедия

  • Открытое отображение — Курсив обозначает ссылку на этот словарь # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш …   Википедия

  • Множество второй категории — Курсив обозначает ссылку на этот словарь # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш …   Википедия

  • Множество первой категории — Курсив обозначает ссылку на этот словарь # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш …   Википедия

  • Открытое подмножество — Открытое множество в математическом анализе, геометрии это множество, каждая точка которого входит в него вместе с некоторой окрестностью. Открытое множество также является фундаментальным понятием общей топологии. Термин «открытое множество»… …   Википедия

Книги

Другие книги по запросу «Открытое множество» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»