- Подмножество
-
В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена.
Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники.
Эта отметка установлена 10 апреля 2012.Подмно́жество в теории множеств — это понятие части множества.
Содержание
Определение
Множество
является подмножеством множества
, если любой элемент, принадлежащий
, также принадлежит
. Формальное определение:
Множество
называется надмно́жеством множества
, если
— подмножество
.
Существует два символических обозначения для подмножеств:
« является подмножеством
» обозначается
« является собственным подмножеством
» обозначается
Примечание Внешний вид символа намекает, что если
, то
.
Для понятия «подмножество» используется более простой символ, так как это понятие является более «фундаментальным». К сожалению, обе системы обозначений используют символ
в разных смыслах, что может привести к путанице. В данной статье мы будем использовать последнюю систему обозначений.
То, что
называется надмножеством
, часто записывают
.
Множество всех подмножеств множества
обозначается
и называется множеством-степенью.
Собственное подмножество
Любое множество
является своим подмножеством. Если мы хотим исключить
из рассмотрения, мы пользуемся понятием со́бственного подмножества, которое определяется так:
- Множество
является собственным подмножеством множества
, если
и
.
Пустое множество является подмножеством любого множества. Если мы вдобавок хотим исключить из рассмотрения пустое множество, мы пользуемся понятием нетривиа́льного подмножества, которое определяется так:
- Множество
является нетривиальным подмножеством множества
, если
является собственным подмножеством
и
.
Примеры
- Множества
являются подмножествами множества
- Множества
являются подмножествами множества
- Пусть
, тогда
.
- Пусть
. Тогда
.
Свойства
Отношение подмножества обладает целым рядом свойств[1].
- Отношение подмножества является отношением частичного порядка:
- Отношение подмножества рефлексивно:
- Отношение подмножества антисимметрично:
- Отношение подмножества транзитивно:
- Отношение подмножества рефлексивно:
- Пустое множество является подмножеством любого другого, поэтому оно является наименьшим множеством относительно отношения подмножества:
- Для любых двух множеств
и
следующие утверждения эквивалентны:
Подмножества конечных множеств
Если исходное множество конечно, то у него существует конечное количество подмножеств. А именно, у
-элементного множества существует
подмножеств (включая пустое). Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что каждый элемент может либо входить, либо не входить в подмножество, а значит, общее количество подмножеств будет
-кратным произведением двоек. Если же рассматривать только подмножества
-элементного множества из
элементов, то их количество выражается биномиальным коэффициентом
. Для проверки этого факта можно выбирать элементы подмножества последовательно. Первый элемент можно выбрать
способами, второй
способом, и так далее, и, наконец,
-й элемент можно выбрать
способом. Таким образом мы получим последовательность из
элементов, и ровно
таким последовательностям соответствует одно подмножество. Значит, всего найдется
таких подмножеств.
Примечания
- ↑ В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 65. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7
См. также
Ссылки
Логика Формальная Логические операции с понятиями
Изменение содержания понятия: отрицание • ограничение • обобщение • деление
Законы: Закон обратного отношения между содержанием и объёмом понятия
Изменение объёма понятия: сложение • умножение • вычитание
Типы: Многозначная логика • Бинарная логикаМатематическая
(теоретическая,
символическая)Логические связки (операции) над высказываниями
Высказывание - построение над множеством {B,
2 константы: импликация (,
,
, 0, 1}
В - непустое множество, над элементами которого определены три операции: конъюнкция (или &,бинарная) • дизъюнкция (
,бинарная) • отрицание (
,унарная)
) • Круги Эйлера/Диаграмма Венна • Теория множеств
Категория:- Теория множеств
Wikimedia Foundation. 2010.