- Окрестность
-
Окре́стность точки — множество, содержащее данную точку, и близкие (в каком-либо смысле) к ней. В разных разделах математики это понятие определяется по-разному.
Содержание
Определения
Математический анализ
Пусть
произвольное фиксированное число.
Окрестностью точки
на числовой прямой (иногда говорят
-окрестностью) называется множество точек, удаленных от
не более чем на
, то есть
.
В многомерном случае роль окрестности выполняет открытый
-шар с центром в точке
.
В банаховом пространстве
окрестностью с центром в точке
называют множество
.
В метрическом пространстве
окрестностью с центром в точке
называют множество
.
Общая топология
- Пусть задано топологическое пространство
, где
— произвольное множество, а
— определённая на
топология. Множество
называется окрестностью точки
, если существует открытое множество
такое, что
.
- Аналогично окрестностью множества
называется такое множество
, что существует открытое множество
, для которого выполнено
.
Замечания
- Приведённые выше определения не требуют, чтобы окрестность
была открытым множеством, но лишь чтобы она содержала открытое множество
. Некоторые авторы настаивают на том, что любая окрестность открыта.[1] Тогда окрестностью множества называется любое содержащее его открытое множество. Это не принципиальное для развития дальнейшей топологической теории различие. Однако в каждом случае важно фиксировать терминологию.
- Oкрестностью множества точек
называется такое множество
, что
есть окрестность любой точки
.
Пример
Пусть дана вещественная прямая со стандартной топологией. Тогда
является открытой окрестностью, а
— замкнутой окрестностью точки
.
Вариации и обобщения
Проколотая окрестность
Проколотой окрестностью точки называется окрестность точки, из которой исключена эта точка.
Строго говоря, проколотая окрестность не является окрестностью точки, так как согласно определению окрестности окрестность должна включать и саму точку.
Формальное определение: Множество
называется проко́лотой окре́стностью (вы́колотой окрестностью) точки
, если
где
— окрестность
.
См. также
Примечания
- ↑ Рудин, 1975, с. 13
Литература
- Математическая Энциклопедия. — М.: Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 4.
- У.Рудин Функциональный анализ. — М.: Мир, 1975.
Категории:- Общая топология
- Математический анализ
- Пусть задано топологическое пространство
Wikimedia Foundation. 2010.