Окрестность

Окрестность

Окре́стность точки — множество, содержащее данную точку, и близкие (в каком-либо смысле) к ней. В разных разделах математики это понятие определяется по-разному.

Содержание

Определения

Математический анализ

Пусть \varepsilon>0 произвольное фиксированное число.

Окрестностью точки x_0 на числовой прямой (иногда говорят \varepsilon-окрестностью) называется множество точек, удаленных от x_0 не более чем на \varepsilon, то есть O_\varepsilon(x_0) =\{x: |x-x_0|< \varepsilon\}.

В многомерном случае роль окрестности выполняет открытый \varepsilon-шар с центром в точке x_0.

В банаховом пространстве (B,\|\cdot\|) окрестностью с центром в точке x_0 называют множество A=\{x\in B:\|x-x_0\|<\epsilon\}.

В метрическом пространстве (M,\rho) окрестностью с центром в точке y называют множество A=\{x\in M:\rho(x,y)<\epsilon\}.

Общая топология

  • Аналогично окрестностью множества M \subset X называется такое множество V \subset X, что существует открытое множество U\in \mathcal{T}, для которого выполнено M \subset U \subset V.

Замечания

Логотип Викисловаря
В Викисловаре есть статья «окрестность»
  • Приведённые выше определения не требуют, чтобы окрестность V была открытым множеством, но лишь чтобы она содержала открытое множество U. Некоторые авторы настаивают на том, что любая окрестность открыта.[1] Тогда окрестностью множества называется любое содержащее его открытое множество. Это не принципиальное для развития дальнейшей топологической теории различие. Однако в каждом случае важно фиксировать терминологию.
  • Oкрестностью множества точек M называется такое множество V, что V есть окрестность любой точки x\in M.

Пример

Пусть дана вещественная прямая со стандартной топологией. Тогда (-1,2) является открытой окрестностью, а [-1,2] — замкнутой окрестностью точки 0.

Вариации и обобщения

Проколотая окрестность

Проколотой окрестностью точки называется окрестность точки, из которой исключена эта точка.

Строго говоря, проколотая окрестность не является окрестностью точки, так как согласно определению окрестности окрестность должна включать и саму точку.

Формальное определение: Множество \dot{V} называется проко́лотой окре́стностью (вы́колотой окрестностью) точки x\in X, если

\dot{V} = V \setminus \{x\},

где V — окрестность x.

См. также


Примечания

  1. Рудин, 1975, с. 13

Литература


Wikimedia Foundation. 2010.

Поможем написать курсовую
Синонимы:

Полезное


Смотреть что такое "Окрестность" в других словарях:

  • ОКРЕСТНОСТЬ — [окресность], окрестности, жен. 1. Местность, прилегающая к чему нибудь. Окрестность города. Деревня с живописными окрестностями. 2. только ед. Окружающее пространство. «Месяц стоял высоко и ясно озарял окрестность.» А.Тургенев. « И всё в ужасной …   Толковый словарь Ушакова

  • окрестность — округа, окружность; местность, околоток, окружение Словарь русских синонимов. окрестность округа (разг.); околоток, окружность (устар.) Словарь синонимов русского языка. Практический справочник. М.: Русский язык. З. Е. Александрова. 2011 …   Словарь синонимов

  • ОКРЕСТНОСТЬ — точки в метрическом пространстве множество всех точек, расстояние которых до данной точки меньше некоторого положительного числа. Это т. н. сферическая окрестность. В более общем случае под окрестностью понимают любое открытое множество,… …   Большой Энциклопедический словарь

  • Окрестность — область, примыкающая к точечному объекту и рассматриваемая с точки зрения принадлежности к ней иных близких объектов. См. также: Пространственные данные Финансовый словарь Финам …   Финансовый словарь

  • окрестность —     ОКРЕСТНОСТЬ, устар. околоток, устар. окружность, разг. округа …   Словарь-тезаурус синонимов русской речи

  • ОКРЕСТНОСТЬ — ОКРЕСТНОСТЬ, и, жен. Местность, прилегающая к чему н., окружающее пространство. Окрестности столицы. • В окрестности чего, в знач. предлога с род. недалеко от, близ чего н. Прогулки в окрестности озера. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю …   Толковый словарь Ожегова

  • окрестность — близость соседство — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом Синонимы близостьсоседство EN vicinity …   Справочник технического переводчика

  • окрестность — Местность, прилегающая к какому либо географическому объекту, окружающее его пространство …   Словарь по географии

  • окрестность — и; ж. Местность, прилегающая к чему л. Окрестности города, деревни, озера. // обычно мн.: окрестности, ей. Окружающая местность, окружающее пространство. Осматривать достопримечательности окрестностей города. Гулять по окрестностям посёлка. * * * …   Энциклопедический словарь

  • Окрестность точки — Курсив обозначает ссылку на этот словарь # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»