- Пространство Соболева
-
Пространство Соболева (в математике) — функциональное пространство, состоящее из функций из пространства Лебега (
), имеющих обобщенные производные заданного порядка из
. При
пространства Соболева являются банаховыми пространствами, а при p=2 пространства Соболева являются гильбертовыми пространствами. Для гильбертовых пространств Соболева также принято обозначение
.
Для области
норма в соболевском пространстве
порядка
и суммируемых со степенью
вводится по следующей формуле:
а при
норма выглядит следующим образом:
где
— это мультииндекс, а операция
есть обобщенная производная по мультииндексу.
Пространства Соболева были введены советским математиком Сергеем Львовичем Соболевым и впоследствии названы его именем.
Введение и история вопроса
Идея об обобщении решений дифференциальных уравнений в частных производных начинает проникать в математическую физику в 20-х годах XX века. С одной стороны, необходимость в расширении классов функций возникает в многомерных вариационных задачах, а с другой, — при исследовании волнового уравнения и уравнений гидродинамики. В этих задачах классы непрерывных функций оказались недостаточными.
В работе К.О. Фридрихса 1934 года[1] при исследовании минимума квадратичного функционала были введены классы функций, которые совпадают с пространствами Соболева
— пространствами Соболева первого порядка, имеющими нулевой след на границе области. Однако в этих работах (так называемых прямых вариационных задачах) еще не было понимания того, что соболевские пространства второго порядка являются классом корректности для эллиптических краевых задач, соответствующих вариационным задачам. В 1936 году в основополагающей работе С.Л. Соболева[2] вводятся обобщенные решения основных видов линейных уравнений в частных производных второго порядка (волновое уравнение, уравнение Лапласа и уравнение теплопроводности) из классов функций, которые впоследствии были названы пространствами Соболева. В этих работах обобщенные решения понимаются как пределы классических решений, причем пределы рассматриваются в классах интегрируемых функций. Такое расширение понятий решений позволяет исследовать задачи с весьма общими правыми частями и коэффициентами уравнений.
В 1930-х годах начинается всестороннее исследование пространств Соболева. Наиболее важными были работы Ф. Реллиха о компактности вложения (теорема Реллиха-Гординга) и теоремы о вложении (теоремы Соболева и Соболева-Кондрашова). Эти теоремы позволили строить обобщенные решения для многих задач математической физики, а также установить связь с классами непрерывных функций.
В 1940-х годах О.А. Ладыженской было предложено определять обобщенные решения с помощью интегральных тождеств для функций из пространств Соболева. Использование интегральных тождеств оказалось крайне удобным подходом для исследования разрешимости и гладкости решений уравнений в частных производных. В настоящее время определение обобщенных решений через интегральные тождества является стандартным методом постановки задач.
Пространства Соболева имеют принципиальное значение не только в теории дифференциальных уравнений с частными производными, но и в вариационных задачах, теории функций, теории приближений, численных методах, теории управления и многих других разделах современной математики.
Свойства пространств Соболева
- Для любой области
из
следует, что
.
- Если
и
, то
.
- Если
финитная в
, то продолжение этой функции нулем принадлежит
для любой
.
- Пусть
есть гладкое и взаимно однозначное отображение области
на область
и
, тогда функция
принадлежит пространству
.
- Пространства Соболева
являются сепарабельными пространствами.
- Если граница области
удовлетворяет условию Липшица, то множество
плотно в
.
- Пространства
при
являются рефлексивными пространствами.
- Пространства
являются гильбертовыми пространствами.
Пространства Соболева
В краевых задачах для дифференциальных уравнений в частных производных важную роль играют пространства функций из пространства Соболева, имеющих нулевые граничные условия. Эти пространства обозначаются через
и вводятся как замыкания множества
по норме пространства
, где
есть множество финитных в Q бесконечно дифференцируемых функций.
Пространства
являются замкнутыми подпространствами в
. При наличии определенной гладкости границы области Q это пространство совпадает с множеством функций из
, имеющих нулевой след на границе области Q и нулевой след всех обобщенных производных вплоть до
-го порядка.
Пространства Соболева во всем пространстве
Пространства Соболева
можно определить с помощью преобразования Фурье. Для любой функции
определено преобразование Фурье
, причем,
. Пространство Соболева
определяется следующим образом:
.
Пространства Соболева на торе
Пусть
—
-мерный тор. Пространство Соболева на торе
, то есть
-периодических по всем переменным функций, можно определить с помощью многомерных рядов Фурье:
.
Пространства Соболева дробного порядка
Чтобы избежать путаницы, нецелочисленное k будем обычно обозначать как s, то есть
или
.
В случае 0<s<1 пространство
состоит из функций
,
таких, что
Для нецелого s>1 положим
, где
— целая часть s. Тогда
состоит из элементов
таких, что
для
с нормой
Пространства Соболева отрицательного порядка
При рассмотрении обобщенных решений дифференциальных уравнений в частных производных естественным образом возникают пространства Соболева отрицательного порядка. Пространство
определяется по формуле:
где штрих означает сопряженное пространство. При этом мы получаем, что пространства Соболева отрицательного порядка представляют собой пространство обобщенных функций. Так, например, пространство
содержит дельта-функцию Дирака.
Теоремы вложения
Предполагая, что граница области
удовлетворяет достаточным условиям гладкости, имеют место следующие теоремы вложения.
Теорема вложения Соболева
Если
, то имеет место непрерывное вложение
.
Здесь k предполагается целым и неотрицательным, а s может быть и дробным (пространства Соболева дробного порядка). Эта теорема играет важнейшую роль в теории функциональных пространств и дифференциальных уравнений в частных производных.
Теорема Реллиха-Кондрашова
Пусть область Q ограничена,
,
и
, тогда: вложение
вполне непрерывно.
С помощью теорем о компактности вложения пространств Соболева доказываются многие теоремы существования для дифференциальных уравнений в частных производных.
Показательные примеры
Пространства Соболева имеют существенные отличия от пространств непрерывно дифференцируемых функций.
Пример разрывной функции
Пусть
— круг на плоскости. Функция
принадлежит пространству
, но имеет разрыв второго рода в точке
.
Пространства Соболева в одномерном случае
Функции из пространства
являются непрерывными, более того представимые по формуле:
,
где функция
является обобщенной производной функции
на
.
Для любых двух функций из пространства
произведение этих функций также принадлежит
. Поэтому соболевское пространство первого порядка на отрезке является банаховой алгеброй.
Примечания
- ↑ Friedrichs K.O. Math. Ann. v. 109 (1934), 465-487.
- ↑ S. Soboleff, “Méthode nouvelle à résoudre le problème de Cauchy pour les équations linéaires hyperboliques normales”, Матем. сб., 1(43):1 (1936), 39–72
Литература
- Соболев С. Л., Некоторые применения функционального анализа в математической физике, М.: Наука, 1988
- Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.
- R.A. Adams, J.J.F. Fournier, 2003. Sobolev Spaces. Academic Press.
- Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976
Категории:- Функциональный анализ
- Дифференциальные уравнения в частных производных
Wikimedia Foundation. 2010.