Множеств теория

Множеств теория

Тео́рия мно́жеств — раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств.

Теория множеств лежит в основе большинства математических дисциплин; она оказала глубокое влияние на понимание предмета самой математики.

Содержание

Теория множеств Кантора

Во второй половине XIX века немецкий математик Георг Кантор разработал свою программу стандартизации математики, в рамках которой любой математический объект должен был оказываться тем или иным «множеством». Например, натуральное число, по Кантору, следовало рассматривать как множество, состоящее из единственного элемента другого множества, называемого «натуральным рядом» — который, в свою очередь, сам представляет собой множество, удовлетворяющее так называемым аксиомам Пеано. При этом общему понятию «множества», рассматривавшемуся им в качестве центрального для математики, Кантор давал мало что определяющие определения вроде «множество есть многое, мыслимое как единое», и т. д. Это вполне соответствовало умонастроению самого Кантора, подчёркнуто называвшего свою программу не «теорией множеств» (этот термин появился много позднее), а учением о множествах (Mengenlehre).

Программа Кантора вызвала резкие протесты со стороны многих современных ему крупных математиков. Особенно выделялся своим непримиримым к ней отношением Леопольд Кронекер, полагавший, что математическими объектами могут считаться лишь натуральные числа и то, что к ним непосредственно сводится (известна его фраза о том, что «бог создал натуральные числа, а всё прочее — дело рук человеческих»). Тем не менее, некоторые другие математики — в частности, Готлоб Фреге и Давид Гильберт — поддержали Кантора в его намерении перевести всю математику на теоретико-множественный язык.

Однако вскоре выяснилось, что установка Кантора на неограниченный произвол при оперировании с множествами (выраженный им самим в принципе «сущность математики состоит в её свободе») является изначально порочной. А именно, был обнаружен ряд теоретико-множественных антиномий: оказалось, что при использовании теоретико-множественных представлений некоторые утверждения могут быть доказаны вместе со своими отрицаниями (а тогда, согласно правилам классической логики высказываний, может быть «доказано» абсолютно любое утверждение!).

Аксиоматическая теория множеств

В начале XX века Бертран Рассел, изучая канторовскую теорию множеств, пришел к парадоксу (с тех пор известному как парадокс Рассела). Таким образом, была продемонстрирована несостоятельность этой теории множеств и связанной с ней канторовской программы стандартизации математики.

После обнаружения антиномии Рассела часть математиков (например, Л. Э. Я. Брауэр и его школа) решила полностью отказаться от использования теоретико-множественных представлений. Другая же часть математиков, возглавленная Д. Гильбертом, предприняла ряд попыток строго обосновать ту часть теоретико-множественных представлений, которая казалась им наиболее ответственной за возникновение антиномий, на основе заведомо надёжной финитной математики. С этой целью были разработаны различные аксиоматизации теории множеств.

Особенностью аксиоматического подхода является отказ от лежащего в основе программы Кантора представления о действительном существовании множеств в некотором идеальном мире. В рамках аксиоматических теорий множества «существуют» исключительно формальным образом, и их «свойства» могут существенно зависеть от выбора аксиоматики. Этот факт всегда являлся мишенью для критики со стороны тех математиков, которые не соглашались (как на том настаивал Гильберт) признать математику лишённой всякого содержания игрой в символы. В частности, Н. Н. Лузин писал, что «мощность континуума, если только мыслить его как множество точек, есть единая некая реальность», место которой в ряду кардинальных чисел не может зависеть от того, признаётся ли в качестве аксиомы континуум-гипотеза, или же её отрицание.

В настоящее время наиболее распространённой аксиоматической теорией множеств является ZFC — теория Цермело — Френкеля с аксиомой выбора. Вопрос о непротиворечивости этой теории (а тем более — о существовании модели для неё) остаётся нерешенным.

Системы NFU (с урэлементами) и NF (без них) не базируются на совокупной иерархии (cumulative hierarchy). NF и NFU включают в себя «множество всех множеств», относительно к которому каждое множество имеет своё дополнение. С другой стороны NF (но не NFU) опровергает аксиому выбора.

Системы конструктивной теории множеств, такие как CST, CZF и IZF внедряют свои наборы аксиом в интуиционистскую логику вместо логики первого порядка.

Приложения

Реляционная модель данных

См. также

Ссылки

Н. К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств.

  • Френкель А., Бар-Хиллел И., Основания теории множеств, пер с англ. Ю. А. Гастева, под. ред. А. С. Есенина-Вольпина, М.: «Мир», 1966. — 366 с.
  • Чечулин В. Л., О множествах с самопринадлежностью //Вестник ПГУ, серия Математика. Механика. Информатика, г. Пермь, 2005 г., сс. 133—138. (прореферировано в РЖ Математика ВИНИТИ РАН, № 7, 2006 г., реферат № 06.07-13А.48.).



Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Полезное


Смотреть что такое "Множеств теория" в других словарях:

  • МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ —         математик, теория, изучающая точными средствами проблему бесконечности. Предмет М. т. свойства множеств (совокупностей, классов, ансамблей), гл. обр. бесконечных. Осн. содержание классич. М. т. было разработано нем. математиком Г.… …   Философская энциклопедия

  • множеств теория —         МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ учение о множествах, зародившееся в середине 19 в. и изучающее свойства множеств произвольной природы. Создание М. т. было подготовлено работами математиков, ставивших целью разработку оснований анализа. Первые работы в… …   Энциклопедия эпистемологии и философии науки

  • МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ — раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств, преимущественно бесконечных. понятие множества простейшее математическое понятие, оно не определяется, а лишь поясняется при помощи примеров: множество книг на полке, множество точек …   Большой Энциклопедический словарь

  • множеств теория — раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств, преимущественно бесконечных. Понятие множества  простейшее математическое понятие, оно не определяется, а лишь поясняется при помощи примеров: множество книг на полке, множество… …   Энциклопедический словарь

  • Множеств теория —         учение об общих свойствах множеств, преимущественно бесконечных. Понятие множества, или совокупности, принадлежит к числу простейших математических понятий; оно не определяется, но может быть пояснено при помощи примеров. Так, можно… …   Большая советская энциклопедия

  • МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ — Под множеством понимается совокупность каких либо объектов, называемых элементами множества. Теория множеств занимается изучением свойств как произвольных множеств, так и множеств специального вида независимо от природы образующих их элементов.… …   Энциклопедия Кольера

  • МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ — наивная учение о свойствах множеств, преимущественно бесконечных, элиминирующее свойства элементов, составляющих эти множества. . Понятие множества принадлежит к числу первоначальных математич. понятий и может быть пояснено только при помощи… …   Математическая энциклопедия

  • множеств теория — математическая теория, изучающая точными средствами проблему бесконечности. Предмет М. л. свойства множеств (совокупностей, классов, ансамблей), гл. обр. бесконечных. Множество A есть любое собрание определенных и различимых между собой объектов …   Словарь терминов логики

  • МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ — раздел математики, в к ром изучаются общие свойства множеств, преим. бесконечных. Понятие множества простейшее матем. понятие, оно не определяется, а лишь поясняется при помощи примеров: множество книг на полке, множество точек на прямой… …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ — раздел математики, в к ром изучаются общие св ва множеств, преим. бесконечных. Понятие множества простейшее матем. понятие; оно не определяется, а поясняется на примерах, например множество точек на прямой. То, что данный предмет (элемент, точка) …   Большой энциклопедический политехнический словарь


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»