Операции над множествами

Над множествами, как и над многими другими математическими объектами, можно совершать различные операции, которые иногда называют теоретико-множественными операциями или сет-операциями. В результате операций из исходных множеств получаются новые.

Сравнение множеств

Множество $A$ содержится во множестве $B$ (множество $B$ включает множество $A$), если каждый элемент $A$ есть элемент $B$:

$A\subset B:\Leftrightarrow x\in A\Rightarrow x\in B.$

В этом случае $A$ называется подмножеством $B$, $B$ — надмножеством $A$. Если $A\subset B$ и $A\ne B$, то $A$ называется собственным подмножеством $B$. Заметим, что $\forall M:M\subset M$. По определению $\forall M:\varnothing\subset M$.

Два множества называются равными, если они являются подмножествами друг друга:

$A=B:\Leftrightarrow A\subset B\land B\subset A.$

Иногда для того, чтобы подчеркнуть, что множества могут быть равны, используется запись:

$A\subseteq B$

Операции над множествами

Бинарные операции

Ниже перечислены основные операции над множествами:

• пересечение:

  $A\cap B:=\{x\mid x\in A\land x\in B\}.$

• объединение:

  $A\cup B:=\{x\mid x\in A\lor x\in B\}.$

Если множества $A$ и $B$ не пересекаются: $A\cap B=\varnothing$, то их объединение обозначают также: $A+B=A\cup B$.

• разность (дополнение):

  $A\setminus B:=A\cap\overline B=\{x\mid x\in A\land x\notin B\}.$

• симметрическая разность:

  $A\triangle B\equiv A\dot-B:=(A\cup B)\setminus(A\cap B)=A\cap\overline B+\overline A\cap B=\{x\mid(x\in A\land x\notin B)\lor(x\notin A\land x\in B)\}.$

• Декартово или прямое произведение:

  $A\times B=\{(a,\;b)\mid a\in A,\;b\in B\}.$

Для лучшего понимания смысла этих операций используются диаграммы Эйлера — Венна, на которых представлены результаты операций над геометрическими фигурами как множествами точек.

Унарные операции

• Абсолютное дополнение:

  $\overline A:=\{x\mid x\notin A\}.$

Операция дополнения подразумевает некоторый универсум (универсальное множество $U$, которое содержит $A$):

$\overline A=U\setminus A.$

Относительным же дополнением называется А\В (см.выше):

• Мощность множества:

  $|A|$

Результатом является кардинальное число (для конечных множеств — натуральное).

• Множество всех подмножеств (булеан):

  $2^X:=\{A\mid A\subset X\}$

Обозначение происходит из того, что $\left|2^X\right|=2^{|X|}$ в случае конечных множеств.

Приоритет выполнения операций

Сначала выполняются операции абсолютного дополнения, затем пересечения, затем объединения и разности, которые имеют одинаковый приоритет. Последовательность выполнения операций может быть изменена скобками.