МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ


МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ
МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ
        математик, теория, изучающая точными средствами проблему бесконечности. Предмет М. т.— свойства множеств (совокупностей, классов, ансамблей), гл. обр. бесконечных. Осн. содержание классич. М. т. было разработано нем. математиком Г. Кантором (в поcл. трети 19 в.). Классич. М. т. исходит из признания применимости к бесконечным множествам принципов логики. В развитии М. т. в нач. 20 в. выявились трудности (в том числе парадоксы), связанные с применением законов формальной логики (в частности, исключённого третьего принципа) к бесконечным множествам. В ходе полемики о природе мате-матич. понятий сложились такие направления в основаниях математики, как формализм, интуиционизм, логицизм, конструктивное направление.

Философский энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия. . 1983.

МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ
разработанный нем. математиком Георгом Кантором (1845-1918) аналитический метод для преодоления парадоксальности бесконечных множеств и дефиниции понятия множества, лишенного внутреннего противоречия. Благодаря дальнейшейму развитию теории множеств в трудах Д. Гильберта и Г. Вейля стала возможной аксиоматизация и четкое разделение различных категорий множеств.

Философский энциклопедический словарь. 2010.

МНО́ЖЕСТВ ТЕО́РИЯ
математич. теория, предметом изучения к-рой являются множества. М. т. сыграла выдающуюся роль в изучении идеи бесконечности, весьма важной для математики, логики и гносеологии. Осн. содержание т.н. классич. М. т. было разработано в последней трети 19 в. Кантором. В терминах М. т. удалось построить почти всю совр. математику. С 1900-х гг., в связи с открытием парадоксов в М. т. и логике, начался продолжающийся до сих пор этап усиленного логич. анализа осн. понятий М. т. Эти исследования (см. Метод аксиоматический, Типов теория, Интуиционизм, Математическая бесконечность) оказывают значит. влияние на разработку логич. оснований математики и на развитие совр. формальной (математической) логики.

Философская Энциклопедия. В 5-х т. — М.: Советская энциклопедия. . 1960—1970.

МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ
    МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ — учение о множествах Г.Кантора — наука, зародившаяся в середине 19 в. и изучающая свойства множеств произвольной природы. Создание теории множеств было подготовлено работами математиков 19 в., ставившими целью разработку оснований анализа. Первые работы в этой области были посвящены числовым множествам и множествам функций (Б. Больцано, Р. Дедекинд). Уже в этих работах ставился вопрос о количественном сравнении бесконечных множеств: существуют ли различные ступени математической бесконечности, бесконечные множества разной мощности? В 1871—83 Г. Кантор сделал решительный шаг, изучив множества произвольных элементов, и дал почти современное изложение теории кардинальных и ординальных чисел и теории вполне упорядоченных множеств. Он ввел понятие сравнения двух множеств, опирающееся на понятие взаимнооднозначного их соответствия. Выяснилось, что существует бесконечная шкала неравномощных множеств (напр., множество натуральных чисел и множество действительных чисел имеют разные мощности). В отмеченном цикле работ 1871—83 Кантор предложил носящую его имя теорию действительных чисел, доказал счетность множества действительных алгебраических чисел и несчетность континуума, ввел общее понятие мощности, доказал равномошность континуумов разного числа измерений и высказал континуум-гипотезу; ввел различные классы точечных множеств, определил операции пересечения и суммирования множеств, провел различение кардинальных и ординальных чисел и их обобщение на трансфиниты. Наконец, в 1895—97 Кантор дал систематизированное изложение своих трудов и положил теорию множеств в фундамент всей математики.
    В теории Кантора понятие множества не определяется, а лишь поясняется на примерах (множество всех четных натуральных чисел, множество всех натуральных решений данного алгебраического уравнения и т. д.). Множество считается заданным, если указано характеристическое свойство его элементов. Основное отношение— принадлежность одного множества другому Общность понятия “множество” дала возможность применять его в любой математической области, и практически вся математика использует язык теории множеств. Однако самому Кантору шаг обобщения дался трудно, и его идеи были встречены современниками по-разному: Р. Дедекинд и Д. Гильберт признали выдающееся значение теории множеств, в то время как Л. Кронекер был ее убежденным противником. Широкое признание учение Кантора получило на I Международном конгрессе математиков в Цюрихе. в 1897. Однако в это же время в теории множеств обнаружились противоречия, открытие которых (Г. Кантор, С. Бурали-Форти, Б. Рассел) потрясло все основание математики. Кризис этот продолжается и в настоящее время. Но стоит отметить, что противоречия возникают на самых “верхних этажах” иерархии множеств, когда мы образуем “множество всех множеств”, или “множество всех порядковых чисел”, или “множество всех множеств, не являющихся элементами самих себя” и т. д. Т. о-, “наивная” теория множеств, т. е. в том виде, как ее создал Кантор, не может быть использована в полном объеме. С одной стороны, несмотря на противоречивость, ею продолжали пользоваться в различных областях математики (как языком, удобным для изложения предмета). С другой стороны, необходимо было исправить существующее положение дел. Были предложены различные выходы из создавшейся ситуации, но их пришлось признать в конечном итоге неудовлетворительными. Кратко эти попытки “ремонта” теории множеств резюмируются в характеристике трех основных течений, сложившихся в основаниях математики; логицизма, интуиционизма и формализма. С точки зре
    ния логицизма математика — отрасль логики. Определения и теоремы математики следует давать и доказывать в терминах логических понятий. Приспосабливая логицистическое построение математики к открытиям противоречий, Рассел с помощью разветвленной теории типов исключил непредикативные определения. Однако Рассел не смог обойтись без аксиомы сводимости, утверждающей, что для каждого ненулевого свойства высшего порядка найдется равнообъемное свойство порядка ноль. К числу наиболее современных работ относится работа В. Куайна (W Quine), предложившего бестиповую аксиоматическую систему теории множеств (конечноаксиоматизируемую) с ограничением на схему аксиом свертывания Зх V у(у е χ <^ <р(у)), где φ — стратифицируемая формула, т. е. формула, получающаяся из формулы языка теории типов “стиранием” типов (в системе Куайна существует, напр., множество всех множеств). Логицизм не смог конструктивным путем достичь своей цели.
    В интуиционистской математике Д. Брауэр (L. Brouwer) ограничил использование исключенного третьего закона и ввел новую трактовку логических связок и кванторов. Была построена новая математика, включая теорию континуума. Однако эта другая математика в корне отличалась от той, которая развивалась в течение почти трех тысяч лет. Этот путь также оказался далек от решения вопроса обоснования математики.
    Наконец, выход был предложен Д. Гильбертом в виде “финитной установки” (см. Финитизм), однако и этот путь оказался неудовлетворительным. Тем не менее именно на этом пути были сделаны, может быть, самые плодотворные и приемлемые для большинства математиков попытки преодолеть кризис. В 1904—08 Э. Цермело (E. Zermelo) предложил первую систему аксиом, которой оказалось достаточно, чтобы получить все важные для математики результаты и в которой не получалось ни одно из известных противоречий. В настоящее время существуют несколько общепринятых систем аксиоматической теории множеств, из которых наиболее известной является система Цермело—Френкеля. К последней часто добавляют аксиому выбора, которая носит крайне неконструктивный характер и утверждает существование функции выбора для любого семейства непустых попарно дизъюнктных множеств (формулировка впервые дана Цермело в 1904, и он использовал аксиому выбора для доказательства теоремы о возможности вполне упорядочения любого множества). Попытки доказать или опровергнуть аксиому выбора в рамках системы Цермело—Френкеля оказались тщетными (в 1940 К. Гедель доказал, что аксиома выбора совместна с этой системой (при условии непротиворечивости последней)), а в 1963 П. Коэн (Р. Cohen) доказал совместность отрицания аксиомы выбора с системой (при том же условии непротиворечивости последней). Т. о., одной из попыток выхода из кризиса явилось создание аксиоматической теории множеств, которая занимается изучением фрагментов “наивной” теории множеств, применяя методы математической логики. Для ряда существующих систем аксиоматической теории множеств характерно ограничение схемы аксиом свертывания так, чтобы избежать возникновения противоречий. Это системы Цермело и Цермело—Френкеля. Другой ряд систем характеризуется тем, что в них противоречия устраняются как следствия непредикативных определений. Пример — теория типов Рассела. Наконец, ряд систем преследуют специфические цели (конечность числа аксиом, нестандартные логические средства вывода и т. д.). Это системы Неймана—Геделя—Бернайса, Куайна и появившиеся за последние 25 лет системы, основанные на неклассических логиках (в первую очередь — на интуиционистской логике).
    Аксиоматический подход позволил решить ряд вопросов о соотношении различных аксиоматических систем теории множеств, придать точный смысл вопросам неразрешимости ряда математических проблем (континуум-проблемы, в частности), решить некоторые трудные классические проблемы топологии, теории кардинальных и ординальных чисел. Тем не менее вопрос о непротиворечивости всех этих систем остается открытым.
    Тесная связь между теорией множеств и философией математики породила много вопросов о природе противоречий и аксиоматизации этой теории. Во взглядах на то, как можно было бы удовлетворительно обосновать теорию множеств, имеются большие расхождения. Но подавляющее число математиков продолжают с успехом применять понятия, методы и результаты этой теории в большинстве разделов математики и твердо верят в то, что усилия по устранению противоречий приведут к ее реабилитации. “Эта позиция отнюдь не исключает готовности интерпретировать теорию множеств совсем не так, как это обычно делается, что соответствует, очевидно, существующей потребности в пересмотре интерпретации логики и математики вообще” (Френкель А, Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М., 1966, с. 416).
    Лит.: ХаудорфФ. Теория множеств. М.—Л., 1937; БурбакиН. Теория множеств. М., 1965; Коэн П.Дж. Теория множеств и континуум-гипотеза. М., 1969; Куратовский К., МостовскийА. Теория множеств. М., 1970; Hex Т. Теория множеств и метод форсинга. М., 1973; Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М1977; Кантор Г. Труды по теории множеств. М., 1985.
    В. X. Хаханян

Новая философская энциклопедия: В 4 тт. М.: Мысль. . 2001.


.

Смотреть что такое "МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ" в других словарях:

  • множеств теория —         МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ учение о множествах, зародившееся в середине 19 в. и изучающее свойства множеств произвольной природы. Создание М. т. было подготовлено работами математиков, ставивших целью разработку оснований анализа. Первые работы в… …   Энциклопедия эпистемологии и философии науки

  • МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ — раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств, преимущественно бесконечных. понятие множества простейшее математическое понятие, оно не определяется, а лишь поясняется при помощи примеров: множество книг на полке, множество точек …   Большой Энциклопедический словарь

  • Множеств теория — Теория множеств  раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств. Теория множеств лежит в основе большинства математических дисциплин; она оказала глубокое влияние на понимание предмета самой математики. Содержание 1 Теория… …   Википедия

  • множеств теория — раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств, преимущественно бесконечных. Понятие множества  простейшее математическое понятие, оно не определяется, а лишь поясняется при помощи примеров: множество книг на полке, множество… …   Энциклопедический словарь

  • Множеств теория —         учение об общих свойствах множеств, преимущественно бесконечных. Понятие множества, или совокупности, принадлежит к числу простейших математических понятий; оно не определяется, но может быть пояснено при помощи примеров. Так, можно… …   Большая советская энциклопедия

  • МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ — Под множеством понимается совокупность каких либо объектов, называемых элементами множества. Теория множеств занимается изучением свойств как произвольных множеств, так и множеств специального вида независимо от природы образующих их элементов.… …   Энциклопедия Кольера

  • МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ — наивная учение о свойствах множеств, преимущественно бесконечных, элиминирующее свойства элементов, составляющих эти множества. . Понятие множества принадлежит к числу первоначальных математич. понятий и может быть пояснено только при помощи… …   Математическая энциклопедия

  • множеств теория — математическая теория, изучающая точными средствами проблему бесконечности. Предмет М. л. свойства множеств (совокупностей, классов, ансамблей), гл. обр. бесконечных. Множество A есть любое собрание определенных и различимых между собой объектов …   Словарь терминов логики

  • МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ — раздел математики, в к ром изучаются общие свойства множеств, преим. бесконечных. Понятие множества простейшее матем. понятие, оно не определяется, а лишь поясняется при помощи примеров: множество книг на полке, множество точек на прямой… …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ — раздел математики, в к ром изучаются общие св ва множеств, преим. бесконечных. Понятие множества простейшее матем. понятие; оно не определяется, а поясняется на примерах, например множество точек на прямой. То, что данный предмет (элемент, точка) …   Большой энциклопедический политехнический словарь

Книги

Другие книги по запросу «МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.