Интуиционистская логика

Интуициони́зм — система философских и математических идей и методов, связанных с пониманием математики как совокупности «интуитивно убедительных» умственных построений. С точки зрения интуиционизма, основным критерием истинности математического суждения является интуитивная убедительность возможности проведения мысленного эксперимента, связываемого с этим суждением. Поэтому в интуиционистской математике отвергается теоретико-множественный подход к определению математических понятий, а также некоторые способы рассуждения, принятые в классической логике.

Интуиционистская математика является достаточно разработанным направлением, которое достигло многих существенных результатов, в том числе и в таких областях, как теория меры, функциональный анализ, топология, теория дифференциальных уравнений.

Критика классической математики

Отдельные черты интуиционизма можно проследить ещё в античной математике, а позднее в высказываниях таких учёных, как Гаусс, Кронекер, Пуанкаре, Лебег, Э.Борель. Однако в своём современном виде интуиционизм возник как результат критического пересмотра основ классической математики, проведённого начиная с 1907 года Л. Э. Я. Брауэром.

В основе критики Л. Э. Я. Брауэра лежит вопрос о природе математических объектов и суждений о них. Так, естественно представить, что произвольное натуральное число может быть построено в виде последовательного ряда однородных предметов, например, ряда точек. Столь же естественно представить, что, построив некоторое натуральное число, можно построить затем и следующее, добавив к уже построенному ещё одну точку. Поэтому природа натуральных чисел является интуитивно ясной. Однако наряду с такими объектами в классической математике рассматриваются и объекты с интуитивно неясной природой, например, «множество всех натуральных чисел» и «множество, неизмеримое по Лебегу». С ними не связывается никакого способа их мысленного построения, и потому их действительное существование представляется сомнительным.

Одним из источников возникновения такого рода «монстров» в классической математике являются теоремы чистого существования, в которых наличие искомого объекта утверждается лишь на основе формального опровержения гипотезы о его невозможности. Иначе говоря, фундамент таких теорем составляет представление об абсолютной непогрешимости законов классической логики.

Это представление также стало одной из мишеней критики Брауэра. С его точки зрения, законы классической логики возникли в результате рассмотрения конечных совокупностей, при работе с которыми доказательство чистого существования заведомо может быть дополнено эффективным способом построения искомого объекта — полным перебором. При переходе же к рассмотрению бесконечных совокупностей эти законы становятся недостоверными, поскольку полного перебора таких совокупностей мы провести уже не можем.

В качестве простейшего примера рассмотрим следующую теорему чистого существования:

«для любого вещественного числа x найдётся натуральное число n, равное 1 в случае x = 0, и равное 2 в случае $x\neq 0$»

Признать такое число n действительно существующим мы могли бы лишь в том случае, если бы умели сравнивать произвольное вещественное число x с нулём, чего, однако, мы делать не умеем. Действительно, число x на деле задаётся некоторой бесконечной последовательностью рациональных чисел $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$. Эффективным способом сравнения числа x с нулём был бы лишь такой, который позволял бы производить это сравнение на основе просмотра некоторого конечного (пусть и очень большого) набора чисел x_k. Однако такое рассмотрение не позволяет надёжно установить верность равенства x = 0.

Аналогичные трудности возникают при попытках прояснения статуса существования многих других объектов классического анализа, например, точек экстремума непрерывной функции на отрезке, нулей знакопеременных непрерывных функций на отрезке и т. д. Никакого способа эффективного построения указанных объектов в нашем распоряжении не имеется.

Такая критика классической математики не связана непосредственно с антиномиями теории множеств. Появление антиномий можно рассматривать как дополнительный довод в пользу неудовлетворительности теоретико-множественного подхода, но критика относится и к таким разделам математики, где антиномий не возникает.

Интуиционистская логика

Для более ясной формулировки интуиционизма последователь Л. Э. Я. Брауэра А. Гейтинг создал интуиционистскую логику.

При построении интуиционистской математики обычные логические связки, употребляемые для формулировки математических суждений, истолковываются способом, отличным от классического. Любое суждение считается осмысленным, только если оно выражает возможность некоторого умственного построения, и считается истинным, только если исследователю удалось выполнить соответствующее построение. Так, утверждение, начинающееся с квантора существования, означает наличие способа мысленного построения искомого объекта. Дизъюнкция $A\vee B$ суждений A и B означает возможность непосредственно указать среди этих суждений верное. С этой точки зрения, суждение вида $A\vee\neg A$ может и не быть истинным, если проблема A не решена к настоящему времени. Отсюда видно, что закон исключённого третьего неприемлем в интуиционистской математике в качестве логического принципа.

Соотношение теоретико-множественной, интуиционистской и конструктивной математик с точки зрения допускаемых логических средств и абстракций может быть охарактеризовано следующей таблицей:

Теоремы и принципы	Теоретико-множественная математика	Интуиционистская математика	Конструктивная математика
Закон исключённого третьего	Да	Нет	Нет
Закон двойного отрицания	Да	Нет	Нет
Принцип Маркова	Да	Нет	Да
Абстракция актуальной бесконечности	Да	Частично *	Нет
Тезис Чёрча *	Да	Нет	Да

1. ↑  Отказ от абстракции актуальной бесконечности провозглашался как один из принципов интуиционизма, в то же время, впоследствии было показано, что использование принятого в интуиционизме аппарата построений на деле означает привлечение абстракции актуальной бесконечности.

2. ↑  Эффективность в интуиционизме понимается достаточно широко, она не обязательно связана с наличием алгоритма в точном понимании этого термина и может носить, например, характер исторического наступления события, зависеть от фактического решения проблем, от физических факторов.

Объекты исследования

Объектами исследования интуиционистской математики являются прежде всего конструктивные объекты, такие, как натуральные числа, рациональные числа, списки конструктивных объектов. Кроме того, характерной чертой интуиционизма, отличающей его от конструктивной математики, является рассмотрение свободно становящихся последовательностей математических объектов (то есть неограниченно продолжающихся и не управляемых никаким заранее определённым законом процессов выбора таких объектов). Рассмотрение свободно становящихся последовательностей связано с привлечением абстракции актуальной бесконечности (отказ от которой в интуиционизме, таким образом, не является абсолютным).

Требование интуитивной ясности используемых понятий и проводимых конструкций приводит к тому, что некоторые разделы традиционной математики приобретают в интуиционизме весьма необычный вид. Числовой континуум трактуется не как совокупность отдельных точек, а как «среда становления», поток измельчающихся рациональных интервалов. Каждое отдельное интуиционистское вещественное число определяется как свободно становящаяся последовательность неограниченно уменьшающихся вложенных друг в друга рациональных интервалов. В рассуждениях об интуиционистском числовом континууме (и вообще, в интуиционистской теории потоков) применяется ряд тесно связанных с представлением о свободном становлении логических принципов, основным из которых является бар-индукция. Это позволяет, в частности, утверждать, что всякая интуиционистская вещественная функция, определённая на отрезке, равномерно непрерывна.

Рецепция принципов и методов интуиционизма в других направлениях математики

Сторонники интуиционизма не связывают свои воззрения с какими бы то ни было логическими системами. Так, один из виднейших интуиционистов А. Гейтинг утверждал, что «логика — не та почва, на которой мы стоим», и что формализовать можно лишь завершённую часть интуиционистской математики (развивающиеся же её части могут потребовать существенного пересмотра используемых логических средств). В конце жизни он даже высказывал сожаление, что его известность связана в значительной степени с предложенной им системой логических правил, допустимых с точки зрения интуиционизма уже ввиду их формы. Дело в том, что в исследовании этой системы (получившей известность под неточным названием «интуиционистского исчисления высказываний») приняли значительное участие и математики, не разделявщие взглядов интуиционизма, и пытавшиеся сводить всё его содержание к набору логических правил Гейтинга. В настоящее время мнение о возможности такого сведения является одним из основных математических предрассудков, касающихся интуиционизма.

Как и подавляющее большинство математиков, интуиционист А. Гейтинг вместе с другими последователями школы Л. Э. Я. Брауэра признает объективность математических истин, их включенность в структуру действительности, но, говорит он, описание того, каким именно образом математические истины включены в реальность, математики дать не в состоянии. Таким образом, можно вполне определенно утверждать наличие реалистических установок в интуиционистском понимании природы математического знания в целом.

Тем не менее, исследования интуиционистского исчисления высказываний и основанных на нём формальных теорий представляют и самостоятельный интерес. В частности, была открыта топологическая интерпретация этого исчисления (А. Тарский) и его интерпретация в виде исчисления задач (А. Н. Колмогоров). Была доказана независимость логических связок и невозможность представления интуиционистской логики высказываний в виде конечнозначной логики (К. Гёдель). А. Гейтинг описал интуиционистское арифметическое исчисление, которое получается, если классическое арифметическое исчисление рассматривать на базе интуиционистского исчисления предикатов.

Для исчисления предикатов и арифметического исчисления Колмогоров и Гёдель предложили погружающую операцию классического исчисления в негативный фрагмент соответствующего интуиционистского исчисления (позволяющую, в частности, сводить вопрос о непротиворечивости классического исчисления к аналогичному вопросу для соответствующего ему интуиционистского). Были установлены свойства интуиционистской дизъюнкции и существования, состоящие в том, что если выводимо предложение $\exists xA(x)$, то для некоторого терма t выводимо A(t), и если выводимо предложение $A\vee B$, то выводимо одно из предложений A и B.

В 1945 году С. К. Клини предложил новый вариант интуиционистского понимания арифметических суждений, основанный на развитой в 1930-е годы теории алгоритмов и получивший известность под именем рекурсивной реализуемости. Дальнейшая разработка этого понимания и связанных с ним идей в научной школе А. А. Маркова привела к возникновению современной конструктивной математики.

Литература

• Гейтинг А. Интуиционизм. — М.: Мир, 1965.

• Вейль Г. О философии математики. — М.-Л.: ГТТИ, 1934.

• Клини С., Весли Р. Е. Основания интуиционистской математики с точки зрения теории рекурсивных функций / Пер. с англ. — М., Наука, 1978. — 272 с.