Таблица математических символов

В математике повсеместно используются символы для упрощения и сокращения текста. Ниже приведён список наиболее часто встречающихся математических обозначений, соответствующие команды в TeXе, объяснения и примеры использования.

Кроме указанных символов, иногда используются их зеркальные отражения, например, $A \subset B$ обозначает то же, что и $B \supset A.$

Знаки операций или математические символы — знаки, которые символизируют определённые математические действия со своими аргументами.

К самым распространённым относятся:

• Плюс: +
• Минус: −
• Знаки умножения: ×, ∙ (в программировании также *)
• Знаки деления: :, ∕, ÷
• Знак равенства, приближённого равенства, неравенства: =, ≈, ≠
• Скобки (для определения порядка операций и др.): (), [], {}, <>
• Знак тождественности: ≡
• Знаки сравнения: <, >, ≤, ≥, ≪, ≫
• Знак порядка (тильда): ~
• Знак плюс-минус: ±
• Знак корня (радикал): √
• Факториал: !
• Знак интеграла: ∫
• Знак возведения в степень: ^ (в типографской и рукописной записи формул не применяется; используется в программировании, наряду с более редкими символами ↑ и **, а также в «линейной» текстовой записи формул).

Символ (TeX)	Символ (Unicode)	Название	Значение	Пример
		Произношение
		Раздел математики
$\Rightarrow \!\,$ $\rightarrow \!\,$ $\supset \!\,$	⇒ → ⊃	Импликация, следование	$A \Rightarrow B\,$ означает «если $A$ верно, то $B$ также верно». (→ может использоваться вместо ⇒ или для обозначения функции, см. ниже.) (⊃ может использоваться вместо ⇒, или для обозначения надмножества, см. ниже.).	$x = 2 \Rightarrow x^2 = 4\,$ верно, но $x^2 = 4 \Rightarrow x = 2\,$ неверно (так как $x=-2$ также является решением).
		«влечёт» или «если…, то»
		везде
$\Leftrightarrow$	⇔	Равносильность	$A \Leftrightarrow B$ означает «$A$ верно тогда и только тогда, когда $B$ верно».	$x + 5 = y + 2 \Leftrightarrow x + 3 = y\,$
		«если и только если» или «равносильно»
		везде
$\wedge$	∧	Конъюнкция	$A \wedge B$ истинно тогда и только тогда, когда $A$ и $B$ оба истинны.	$(n>2)\wedge (n<4)\Leftrightarrow (n=3)$, если $n$ — натуральное число.
		«и»
		Математическая логика
$\vee$	∨	Дизъюнкция	$A\vee B$ истинно, когда хотя бы одно из условий $A$ и $B$ истинно.	$(n\leqslant 2)\vee (n\geqslant 4)\Leftrightarrow n\ne 3$, если $n$ — натуральное число.
		«или»
		Математическая логика
$\neg$	¬	Отрицание	$\neg A$ истинно тогда и только тогда, когда ложно $A$.	$\neg (A\wedge B)\Leftrightarrow (\neg A)\vee (\neg B)$ $x\notin S\Leftrightarrow \neg(x\in S)$
		«не»
		Математическая логика
$\forall$	∀	Квантор всеобщности	$\forall x, P(x)$ обозначает «$P(x)$ верно для всех $x$».	$\forall n\in \mathbb N,\;n^2\geqslant n$
		«Для любых», «Для всех»
		Математическая логика
$\exists$	∃	Квантор существования	$\exists x,\;P(x)$ означает «существует хотя бы один $x$ такой, что верно $P(x)$»	$\exists n\in \mathbb N,\;n+5=2n$ (подходит число 5)
		«существует»
		Математическая логика
$=\,$	=	Равенство	$x=y$ обозначает «$x$ и $y$ обозначают одно и то же значение».	1 + 2 = 6 − 3
		«равно»
		везде
$:=$ $:\Leftrightarrow$ $\stackrel{\rm{def}}{=}$	:= :⇔	Определение	$x := y$ означает «$x$ по определению равен $y$». $P :\Leftrightarrow Q$ означает «$P$ по определению равносильно $Q$»	${\rm ch} (x) := {1\over 2}\left(e^x+e^{-x}\right)$ (Гиперболический косинус) $A \oplus B :\Leftrightarrow (A\vee B)\wedge \neg (A\wedge B)$ (Исключающее или)
		«равно/равносильно по определению»
		везде
$\{ ,\}$	{ , }	Множество элементов	$\{a,\;b,\;c\}$ означает множество, элементами которого являются $a$, $b$ и $c$.	$\mathbb N = \{1,\;2,\;\ldots \}$ (множество натуральных чисел)
		«Множество…»
		Теория множеств
$\{ | \}$ $\{ : \}$	{ | } { : }	Множество элементов, удовлетворяющих условию	$\{x\,|\,P(x)\}$ означает множество всех $x$ таких, что верно $P(x)$.	$\{n\in \mathbb N\,|\,n^2<20\} = \{1,\;2,\;3,\;4\}$
		«Множество всех… таких, что верно…»
		Теория множеств
$\varnothing$ $\{\}$	∅ {}	Пустое множество	$\{\}$ и $\varnothing$ означают множество, не содержащее ни одного элемента.	$\{n\in \mathbb N\,|\,1<n^2<4\} = \varnothing$
		«Пустое множество»
		Теория множеств
$\in$ $\notin$	∈ ∉	Принадлежность/непринадлежность к множеству	$a\in S$ означает «$a$ является элементом множества $S$» $a\notin S$ означает «$a$ не является элементом множества $S$»	$2\in \mathbb N$ ${1\over 2}\notin \mathbb N$
		«принадлежит», «из» «не принадлежит»
		Теория множеств
$\subseteq$ $\subset$	⊆ ⊂	Подмножество	$A\subseteq B$ означает «каждый элемент из $A$ также является элементом из $B$». $A\subset B$ обычно означает то же, что и $A\subseteq B$. Однако некоторые авторы используют $\subset$, чтобы показать строгое включение (то есть $\subsetneq$).	$(A\cap B) \subseteq A$ $\mathbb Q\subseteq \mathbb R$
		«является подмножеством», «включено в»
		Теория множеств
$\supseteq \!\,$ $\supset \!\,$	⊇ ⊃	Надмножество	$A\supseteq B$ означает «каждый элемент из $B$ также является элементом из $A$». $A\supset B$ обычно означает то же, что и $A\supseteq B$. Однако некоторые авторы используют $\supset$, чтобы показать строгое включение (то есть $\supsetneq$).	$(A\cup B) \supseteq A$ $\mathbb R\supseteq \mathbb Q$
		«является надмножеством», «включает в себя»
		Теория множеств
$\subsetneq$	⊊	Собственное подмножество	$A\subsetneq B$ означает $A\subseteq B$ и $A\ne B$.	$\mathbb N\subsetneq \mathbb Q$
		«является собственным подмножеством», «строго включается в»
		Теория множеств
$\supsetneq$	⊋	Собственное надмножество	$A\supsetneq B$ означает $A\supseteq B$ и $A\ne B$.	$\mathbb Q\supsetneq \mathbb N$
		«является собственным надмножеством», «строго включает в себя»
		Теория множеств
$\cup$	∪	Объединение	$A\cup B$ означает множество элементов, принадлежащих $A$ или $B$ (или обоим сразу).	$A\subseteq B\Leftrightarrow A\cup B=B$
		«Объединение … и …», «…, объединённое с …»
		Теория множеств
$\cap$	⋂	Пересечение	$A\cap B$ означает множество элементов, принадлежащих и $A$, и $B$.	$\{x\in \R\,|\,x^2=1\}\cap \mathbb N = \{1\}$
		«Пересечение … и … », «…, пересечённое с …»
		Теория множеств
$\setminus$	\	Разность множеств	$A\setminus B$ означает множество элементов, принадлежащих $A$, но не принадлежащих $B$.	$\{1,\;2,\;3,\;4\}\setminus \{3,\;4,\;5,\;6\} = \{1,\;2\}$
		«разность … и … », «минус», «… без …»
		Теория множеств
$\to$	→	Функция	$f\!\!:X\to Y$ означает функцию $f$ с областью определения $X$ и областью прибытия (областью значений) $Y$.	Функция $f\!\!:\mathbb Z\to \mathbb Z$, определённая как $f(x)=x^2$
		«из … в»,
		везде
$\mapsto$	↦	Отображение	$x \mapsto f(x)$ означает, что образом $x$ после применения функции $f$ будет $f(x)$.	Функцию, определённую как $f(x)=x^2$, можно записать так: $f\colon x \mapsto x^2$
		«отображается в»
		везде
$\mathbb N$	N или ℕ	Натуральные числа	$\mathbb N$ означает множество $\{1,\;2,\;3,\;\ldots\}$ или реже $\{0,\;1,\;2,\;3,\;\ldots\}$ (в зависимости от ситуации).	$\{\left|a\right|\,|\,a\in \mathbb Z\}=\mathbb N$
		«Эн»
		Числа
$\mathbb Z$	Z или ℤ	Целые числа	$\mathbb Z$ означает множество $\{\ldots,\;-3,\;-2,\;-1,\;0,\;1,\;2,\;3,\;\ldots\}$	$\{a,\;-a\,|\,a\in\mathbb N\} \cup \{ 0 \}=\mathbb Z$
		«Зед»
		Числа
$\mathbb Q$	Q или ℚ	Рациональные числа	$\mathbb Q$ означает $\left\{\left.{p\over q} \right| p\in \mathbb Z \wedge q\in \mathbb Z\wedge q\ne 0\right\}$	$3,\!14\in \mathbb Q$ $\pi \notin \mathbb Q$
		«Ку»
		Числа
$\mathbb R$	R или ℝ	Вещественные числа, или действительные числа	$\R$ означает множество всех пределов последовательностей из $\mathbb Q$	$\pi \in \R$ $i \notin \R$ ($i$ — комплексное число: $i^2=-1$)
		«Эр»
		Числа
$\mathbb C$	C или ℂ	Комплексные числа	$\mathbb C$ означает множество $\{a+b\cdot i\,|\,a\in \R \wedge b\in \R\}$	$i\in \mathbb C$
		«Це»
		Числа
$<\,$ $>\,$	< >	Сравнение	$x<y$ обозначает, что $x$ строго меньше $y$. $x>y$ означает, что $x$ строго больше $y$.	$x<y\Leftrightarrow y>x$
		«меньше чем», «больше чем»
		Отношение порядка
$\leqslant$ $\geqslant$	≤ или ⩽ ≥ или ⩾	Сравнение	$x\leqslant y$ означает, что $x$ меньше или равен $y$. $x\geqslant y$ означает, что $x$ больше или равен $y$.	$x\geqslant 1\Rightarrow x^2\geqslant x$
		«меньше или равно»; «больше или равно»
		Отношение порядка
$\approx$	≈	Приблизительное равенство	$e\approx 2,\!718$ с точностью до $10^{-3}$ означает, что 2,718 отличается от $e$ не больше чем на $10^{-3}$.	$\pi \approx 3,\!1415926$ с точностью до $10^{-7}$.
		«приблизительно равно»
		Числа
$\sqrt{ }$	√	Арифметический квадратный корень	$\sqrt x$ означает неотрицательное действительное число, которое в квадрате даёт $x$.	$\sqrt 4=2$ $\sqrt {x^2}= \left|x\right|$
		«Корень квадратный из …»
		Числа
$\infty$	∞	Бесконечность	$+\infty$ и $-\infty$ суть элементы расширенного множества действительных чисел. Эти символы обозначают числа, меньшее/большее всех действительных чисел.	$\lim\limits_{x\to 0} {1\over \left|x\right|}= \infty$
		«Плюс/минус бесконечность»
		Числа
$\left|\;\right|$	| |	Модуль числа (абсолютное значение), модуль комплексного числа или мощность множества	$\left|x\right|$ обозначает абсолютную величину $x$. $|A|$ обозначает мощность множества $A$ и равняется, если $A$ конечно, числу элементов $A$.	$\left|a+b\cdot i\right|=\sqrt {a^2+b^2}$
		«Модуль»; «Мощность»
		Числа и Теория множеств
$\sum$	∑	Сумма, сумма ряда	$\sum_{k=1}^n a_k$ означает «сумма $a_k$, где $k$ принимает значения от 1 до $n$», то есть $a_1+a_2+\ldots+a_n$. $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ означает сумму ряда, состоящего из $a_k$.	$\sum_{k=1}^4 k^2=$ $= 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2$ $= 30$
		«Сумма … по … от … до …»
		Арифметика, Математический анализ
$\prod$	∏	Произведение	$\prod_{k=1}^n a_k$ означает «произведение $a_k$ для всех $k$ от 1 до $n$», то есть $a_1\cdot a_2\cdot\ldots\cdot a_n$	$\prod_{k=1}^4 (k+2)=$ $=3\cdot 4\cdot 5\cdot 6=360$
		«Произведение … по … от … до …»
		Арифметика
$!$	!	Факториал	$n!$ означает «произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно, то есть $1\cdot 2\cdot\ldots\cdot n$	$n! = \prod_{k=1}^n k = (n-1)!n$ $0! = 1$ $5! = 1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5=120$
		«$n$ факториал»
		Комбинаторика
$\int dx$	∫	Интеграл	$\int\limits_a^b f(x)\, dx$ означает «интеграл от $a$ до $b$ функции $f$ от $x$ по переменной $x$».	$\int\limits_0^b x^2\, dx = \frac{b^3}{3}$ $\int x^2\, dx = \frac{x^3}{3} + C$
		«Интеграл (от … до …) функции … по (или d)…»
		Математический анализ
$\begin{align} & \frac{df}{dx} \\ & f'(x)\, \\ \end{align}$	df/dx f'(x)	Производная	$\frac{df}{dx}$ или $f'(x)$ означает «(первая) производная функции $f$ от $x$ по переменной $x$».	$\frac{d \cos x}{dx} = -\sin x$
		«Производная … по …»
		Математический анализ
$\begin{align} & \frac{d^n f}{dx^n} \\ & f^{(n)} (x)\, \\ \end{align}$	$d^n f/dx^n$ $f^{(n)}(x)$	Производная $n$-го порядка	$\frac{d^n f}{dx^n}$ или $f^{(n)} (x)~$ (во втором случае если $n$ — фиксированное число, то оно пишется римскими цифрами) означает «$n$-я производная функции $f$ от $x$ по переменной $x$».	$\frac{d^4 \cos x}{dx^4} = \cos x$
		«$n$-я производная … по …»
		Математический анализ

См. также

• Таблица обозначений абстрактной алгебры
• История математических обозначений
• Список математических аббревиатур
• Список обозначений в физике

Литература

• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. Изд. АСТ, 2003, ISBN 5-17-009554-6.

Ссылки

• Арифметические знаки // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.