Натуральные числа


Натуральные числа

Натура́льные чи́слачисла, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления).

Существуют два подхода к определению натуральных чисел — числа, используемые при:

  • перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй, третий…) — подход, общепринятый в большинстве стран мира (в том числе и в России).
  • обозначении количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета…). Принят в трудах Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств.

Отрицательные и нецелые числа — натуральными числами не являются.

Множество всех натуральных чисел принято обозначать знаком \mathbb{N}.

Существует бесконечное множество натуральных чисел — для любого натурального числа найдется другое натуральное число, большее его.

Натуральные числа можно использовать для счёта (одно яблоко, два яблока и т. п.).

Содержание

Определение

Аксиомы Пеано

Основная статья: Аксиомы Пеано

Введём функцию S, которая сопоставляет числу x следующее за ним число.

  1. 1\in\mathbb{N} (1 является натуральным числом);
  2. Если x\in\mathbb{N}, то S(x)\in\mathbb{N} (Число, следующее за натуральным, также является натуральным);
  3. \nexists x\in\mathbb{N}\ (S(x) = 1) (1 не следует ни за каким натуральным числом);
  4. Если S(b) = a и S(c) = a, тогда b = c (если натуральное число a непосредственно следует как за числом b, так и за числом c, то b = c);
  5. Аксиома индукции. Пусть P(n) — некоторый одноместный предикат, зависящий от параметра — натурального числа n. Тогда:
если P(1) и \forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n))), то \forall n\;P(n)
(Если некоторое высказывание P верно для n = 1 (база индукции) и для любого n при допущении, что верно P(n), верно и P(n + 1) (индукционное предположение), то P(n) верно для любых натуральных n).

Теоретико-множественное определение

Согласно теории множеств, единственным объектом конструирования любых математических систем является множество.

Таким образом, и натуральные числа вводятся, исходя из понятия множества, по двум правилам:

  • 0=\varnothing
  • S(n)=n\cup\left\{n\right\}

Числа, заданные таким образом, называются ординальными.

Первые несколько ординальных чисел и соответствующие им натуральные числа:

  • 0=\varnothing
  • 1=\left\{\varnothing\right\}
  • 2=\big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\}\big\}
  • 3=\Big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\},\;\big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\}\big\}\Big\}

Классы эквивалентности этих множеств относительно биекций также обозначают 0, 1, 2, ….

Замечание

Иногда, в иностранной и переводной литературе, в первой и третьей аксиомах заменяют 1 на 0. В этом случае ноль считается натуральным числом.

В русской литературе обычно ноль исключен из числа натуральных чисел 0\notin\mathbb{N}, а множество натуральных чисел с нулем обозначается как \mathbb{N}_0.

Если в определение натуральных чисел включен ноль, то множество натуральных чисел записывается как \mathbb{N}, а без нуля как \mathbb{N}^*.

Операции над натуральными числами

К замкнутым операциям (операциям, не выводящим результат из множества натуральных чисел) над натуральными числами относятся следующие арифметические операции:

  • Сложение. Слагаемое + Слагаемое = Сумма
  • Умножение. Множитель * Множитель = Произведение
  • Возведение в степень ab, где a — основание степени и b — показатель степени. Если основание и показатель натуральны, то и результат будет являться натуральным числом.

Дополнительно рассматривают ещё две операции. С формальной точки зрения они не являются операциями над натуральными числами, так как не определены для всех пар чисел (иногда существуют, иногда нет).

  • Вычитание. Уменьшаемое - Вычитаемое = Разность. При этом Уменьшаемое должно быть больше Вычитаемого (или равно ему, если считать 0 натуральным числом).
  • Деление. Делимое / Делитель = (Частное, Остаток). Частное p и остаток r от деления a на b определяются так: a = p * b + r, причём 0\leqslant r<b. Заметим, что именно последнее условие запрещает деление на ноль, так как иначе a можно представить в виде a = p * 0 + a, то есть можно было бы считать частным 0, а остатком = a.

Следует заметить, что именно операции сложения и умножения являются основополагающими. В частности, кольцо целых чисел определяется именно через бинарные операции сложения и умножения.

Теоретико-множественные определения

Воспользуемся определением натуральных чисел как классов эквивалентности конечных множеств. Будем обозначать класс эквивалентности множества A относительно биекций как [A]. Тогда основные арифметические операции определяются следующим образом:

  • [A] + [B] = [A \sqcup B]
  • [A] * [B] = [A \times B]
  • [A][B] = [AB]

где A \sqcup Bдизъюнктное объединение множеств, A \times Bпрямое произведение, AB — множество отображений из B в A. Можно показать, что полученные операции на классах введены корректно, то есть не зависят от выбора элементов классов, и совпадают с индуктивными определениями.

Основные свойства

  1. Коммутативность сложения. \,\! a + b = b + a
  2. Коммутативность умножения. \,\! ab = ba
  3. Ассоциативность сложения. \,\! (a + b) + c = a + (b + c)
  4. Ассоциативность умножения. \,\! (ab)c = a(bc)
  5. Дистрибутивность умножения относительно сложения. \,\! \begin{cases} a(b+c) = ab + ac \\ (b + c)a = ba + ca \end{cases}

Алгебраическая структура

Сложение превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, роль единицы выполняет 0. Умножение также превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, при этом единичным элементом является 1. С помощью замыкания относительно операций сложения-вычитания и умножения-деления получаются группы целых чисел \mathbb Z и рациональных положительных чисел \mathbb Q^*_+ соответсвенно.

Натуральные числа в русском языке

  • Числа от 1 до 10 — один (1), два (2), три (3), четы́ре (4), пять (5), шесть (6), семь (7), во́семь (8), де́вять (9), де́сять (10).
  • Числа от 11 до 20 — оди́ннадцать (11), двена́дцать (12), трина́дцать (13), четы́рнадцать (14), пятна́дцать (15), шестна́дцать (16), семна́дцать (17), восемна́дцать (18), девятна́дцать (19), два́дцать (20).
  • Числа от 30 до 90 — три́дцать (30), со́рок (40), пятьдеся́т (50), шестьдеся́т (60), се́мьдесят (70), во́семьдесят (80), девяно́сто (90).
  • Числа от 100 до 900 — сто (100), две́сти (200), три́ста (300), четы́реста (400), пятьсо́т (500), шестьсо́т (600), семьсо́т(700), восемьсо́т (800), девятьсо́т (900).

См. также

Ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Натуральные числа" в других словарях:

  • НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА — числа, возникающие в процессе счета, целые положительные числа 1, 2, 3 …   Большой Энциклопедический словарь

  • натуральные числа — числа, возникающие в процессе счёта, целые положительные числа 1, 2, 3... . * * * НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА, числа, возникающие в процессе счета, целые положительные числа 1, 2, 3 …   Энциклопедический словарь

  • НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА — числа, возникающие в процессе счёта, целые положит. числа 1, 2, 3 …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • Натуральные числа — числа, возникающие в процессе естественного (натурального) счета, целые положительные числа 1, 2, 3 …   Начала современного естествознания

  • Числа Какота — Числа Какота  кардинальные числа, используются при рассмотрении счетности/несчетности элементов множеств. Так натуральные числа  начальный класс, он же  счетное множество N=0,1,2,…,N 1 всех конечных чисел. Его кардинал N называется …   Википедия

  • Числа Цукермана — Числа Цукермана  такие натуральные числа, которые делятся на произведение своих цифр. Пример 212  число Цукермана, так как и . Последовательность Все целые числа от 1 до 9 являются числами Цукермана. Все числа, включащие ноль, не… …   Википедия

  • Числа с собственными именами — В этот список включены числа, имеющие собственные названия, не являющиеся стандартными сложносоставными названиями чисел. Именные названия степеней тысячи приводятся, только если у них есть иные названия. Содержание 1 Натуральные числа 1.1… …   Википедия

  • Числа Каллена — В математике числами Каллена называют натуральные числа вида n • 2n + 1 (пишется Cn). Числа Каллена впервые были изучены Джеймсом Калленом в 1905. Числа Каллена  это особый вид чисел Прота. Свойства В 1976 году Кристофер Хулей (Christopher… …   Википедия

  • Натуральные логарифмы — Рис. 1. Графики логарифмических функций Логарифм числа b по основанию a определяется как показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b. Обозначение: . Из определения следует, что записи и ax = b равносильны. Пример …   Википедия

  • Натуральные повинности — Затруднительность, а иногда и невозможность удовлетворять те или другие государственные и общественные потребности с помощью денежных средств, т. е. посредством покупки и найма, вынуждают государство требовать от граждан непосредственно их… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Книги

Другие книги по запросу «Натуральные числа» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.