Модуль комплексного числа

Модуль комплексного числа

Модулем комплексного числа называется длина вектора, соответствующего этому числу: $|z| = \sqrt{x^2+y^2}$.
Модуль комплексного числа z обычно обозначается | z | или r.

Пусть $~x$ и $~y$ — вещественные числа такие, что комплексное число $~z=x+iy$ (обычные обозначения). Тогда

• Числа $x = \Re(z)$ или $\operatorname{Re}(z)$ и $y = \Im(z)$ или $\operatorname{Im}(z)$ называются соответственно вещественной (Real) и мнимой (Imaginary) частями z.
  • Если x = 0, то z называется мнимым или чисто мнимым.
• Число $|z| = \sqrt{x^2+y^2}$ называется модулем числа z. Для вещественного числа модуль совпадает с его абсолютной величиной. Некоторые свойства модуля:

  1)$| z | \geqslant 0 \,$, причём $| z | = 0 \,$ тогда и только тогда, когда $z = 0 \,$

  2)$| z_1 + z_2 | \leqslant | z_1 | + | z_2 | \,$ (неравенство треугольника)

  3)$| z_1 \cdot z_2 | = | z_1 | \cdot | z_2 | \,$

  4)$| z_1 / z_2 | = | z_1 | / | z_2 | \,$

  5)Угол $\varphi$ такой, что: $\cos \varphi = \frac {x} {|z|}$ и $\sin \varphi = \frac {y} {|z|}~~$, называется аргументом z. Для комплексного нуля значение аргумента не определено, для ненулевого числа z аргумент определяется с точностью до 2kπ, где k — любое целое число. Из определения следует, что $\operatorname {tg}\ \varphi = \frac {y} {x}$.