Парадокс Банаха — Тарского


Парадокс Банаха — Тарского

Парадокс Банаха — Тарского

Шар можно «разбить» на куски и собрать из них два таких же шара.

Парадокс Банаха — Тарского, или парадокс удвоения шара, говорит, что трёхмерный шар равносоставлен двум своим копиям.

Два подмножества евклидова пространства называются равносоставленными, если одно можно разбить на конечное число «кусков» и составить из них второе. При этом для удвоения шара достаточно пяти кусков, но четырёх недостаточно.

Более точно, два множества A и B являются равносоставленными, если их можно представить как конечное объединение непересекающихся подмножеств A=\bigcup_i ^nA_i, B=\bigcup_i^n B_i так, что для каждого i подмножество Ai конгруэнтно Bi.

Верен также более сильный вариант парадокса:

Любые два ограниченных подмножества евклидова пространства с непустой внутренностью являются равносоставленными.


Ввиду своей неправдоподобности, этот парадокс часто используется как довод против принятия аксиомы выбора, которая существенно используется при построении такого разбиения. Принятие подходящей альтернативной аксиомы позволяет доказать невозможность указанного разбиения, не оставляя места для этого парадокса.

Парадокс был открыт в 1926 году Стефаном Банахом и Альфредом Тарским. Очень похож на более ранний парадокс Хаусдорфа, и его доказательство основано на той же идее. Поэтому более правильно называть парадоксом Хаусдорфа — Банаха — Тарского.

Значение для теории меры

Разделяя шар на конечное число частей, мы интуитивно ожидаем, что, складывая эти части вместе, можно получить только сплошные фигуры, объём которых равен объёму исходного шара радиуса. Однако это справедливо только в случае, когда шар делится на части, имеющие объём. Суть парадокса заключается в том, что в трёхмерном пространстве существуют неизмеримые множества, которые не имеют объёма, если под объёмом мы понимаем то, что обладает свойством аддитивности, и предполагаем, что объёмы двух конгруэнтных множеств совпадают. Очевидно, что «куски» в таком разбиении не могут быть измеримыми (и невозможно осуществить такое разбиение какими-либо средствами на практике).

Для плоского круга аналогичная теорема неверна. Более того, Банах показал, что на плоскости понятие площади может быть продолжено на все ограниченные множества как конечно-аддитивная мера, инвариантная относительно движений; в частности, любое множество, равносоставленное кругу, имеет ту же площадь. Хаусдорф показал, что подобное сделать нельзя на двумерной сфере, и, следовательно, в трёхмерном пространстве, и парадокс Банаха — Тарского даёт этому наглядную иллюстрацию.

Тем не менее, некоторые парадоксальные разбиения возможны и на плоскости: круг можно разбить на конечное число (хватает 1050) частей и составить из них квадрат равной площади[1][2], при этом возможно сдвигать части только с помощью параллельных переносов (см. Квадратура круга Тарского (англ.)).

Ссылки

  1. Miklos Laczkovich: "Equidecomposability and discrepancy: a solution to Tarski's circle squaring problem", Crelle's Journal of Reine and Angewandte Mathematik 404 (1990) pp. 77-117.
  2. Miklos Laczkovich: "Paradoxical decompositions: a survey of recent results." First European Congress of Mathematics, Vol. II (Paris, 1992), pp. 159-184, Progr. Math., 120, Birkh.user, Basel, 1994.

Литература


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Парадокс Банаха — Тарского" в других словарях:

  • Парадокс Банаха-Тарского — Шар можно «разбить» на куски и собрать из них два таких же шара. Парадокс Банаха  Тарского, или парадокс удвоения шара, говорит, что трёхмерный шар равносоставлен двум своим копиям. Два подмножества евклидова пространства называются… …   Википедия

  • Парадокс Банаха—Тарского — Шар можно «разбить» на куски и собрать из них два таких же шара. Парадокс Банаха  Тарского, или парадокс удвоения шара, говорит, что трёхмерный шар равносоставлен двум своим копиям. Два подмножества евклидова пространства называются… …   Википедия

  • Парадокс Банаха — Шар можно «разбить» на куски и собрать из них два таких же шара. Парадокс Банаха  Тарского, или парадокс удвоения шара теорема в …   Википедия

  • Парадокс Хаусдорфа — Банаха — Тарского — Шар можно «разбить» на куски и собрать из них два таких же шара. Парадокс Банаха  Тарского, или парадокс удвоения шара, говорит, что трёхмерный шар равносоставлен двум своим копиям. Два подмножества евклидова пространства называются… …   Википедия

  • Парадокс удвоения шара — Шар можно «разбить» на куски и собрать из них два таких же шара. Парадокс Банаха  Тарского, или парадокс удвоения шара, говорит, что трёхмерный шар равносоставлен двум своим копиям. Два подмножества евклидова пространства называются… …   Википедия

  • Парадокс — У этого термина существуют и другие значения, см. Парадокс (значения). Роберт Бойль. Схема доказательства того, что вечного двигателя не существует Парадокс …   Википедия

  • Парадокс Хаусдорфа — Теорема (или парадокс) Хаусдорфа  доказываемое в теории множеств утверждение о существовании счётного подмножества T двумерной сферы S2, дополнение которого может быть представлено в виде объединения трёх непересекающихся множеств A, B и C,… …   Википедия

  • Квадратура круга Тарского — задача, сформулированная Альфредом Тарским в 1925 году: Возможно ли разрезать круг на конечное количество частей и собрать из них квадрат такой же площади? Или, более формально, возможно ли разбить круг на конечное количество попарно… …   Википедия

  • Список парадоксов — …   Википедия

  • Тарский, Альфред — Альфред Тарский Alfred Tarski Дата рождения …   Википедия

Книги

Другие книги по запросу «Парадокс Банаха — Тарского» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.