Мера Жордана

Мера Жордана

Мера Жордана — один из способов формализации понятия длины, площади и n-мерного объёма в n-мерном евклидовом пространстве.

Содержание

Построение

Множество измеримо по Жордану если внутренняя мера Жордана равна внешней мере Жордана.

Мера Жордана ~m\Delta параллелепипеда \Delta=\prod_{i=1}^n [a_i,\;b_i] в \R^n определяется как произведение

m\Delta=\prod_{i=1}^n (b_i-a_i).

Для ограниченного множества E\subset\R^n определяются:

здесь \Delta_1,\;\Delta_2,\;\ldots,\;\Delta_N — параллелепипеды описанного выше вида.

Множество ~E называется измеримым по Жордану (квадрируемым при ~n=2, кубируемым при n\geqslant 3), если ~m_eE=m_iE. В этом случае мера Жордана равна ~mE=m_eE=m_iE.

Свойства

  • Мера Жордана инвариантна относительно движений евклидова пространства.
  • Ограниченное множество E\subset\R^n измеримо по Жордану тогда и только тогда, когда его граница имеет меру Жордана нуль (или, что равносильно, когда его граница имеет меру Лебега нуль).
    • В частности, все множества, граница которых состоит из конечного числа гладких кривых и точек, измеримы по Жордану. Тем не менее, существуют множества, ограниченные простой замкнутой кривой Жордана, которые не измеримы по Жордану.
  • Внешняя мера Жордана одна и та же для ~E и \bar E (замыкания множества ~E) и равна мере Бореля \bar E.
  • Измеримые по Жордану множества образуют кольцо, на котором мера Жордана конечная аддитивная функция.

История

Приведённое понятие меры ввели Пеано (1887) и Жордан (1892). Впоследствии понятие было обобщено Лебегом на более широкий класс множеств.

Пример множества, неизмеримого по Жордану

Рассмотрим меру Жордана m, определённую на \R^2 и пусть A=\{(x,\;y)\in\R^2\colon 0\leqslant x\leqslant 1,\;0\leqslant y\leqslant 1\} — множество точек единичного квадрата. Пусть X=A\cap\Q^2 — множество, состоящее из всех точек множества A с рациональными координатами, тогда X — неизмеримое по Жордану множество, так как m_e X=1,\;m_i X=0,\;m_e X\neq m_i X, то есть верхняя и нижняя мера Жордана не совпадают.

Литература

  • Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
  • Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д. Сборник задач по математическому анализу, глава 2;
  • Peano, G. Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale. — Torino, 1887;
  • Jordan, C. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1892. — t. 8. — p. 69—99;

См. также


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Мера Жордана" в других словарях:

  • МЕРА — множества, обобщение понятия длины отрезка, площади фигуры, объема тела, интуитивно соответствующее массе множества при нек ром распределении массы по пространству. Понятие М. множества возникло в теории функций действительного переменного в… …   Математическая энциклопедия

  • Мера — в Викисловаре? …   Википедия

  • Мера вероятности — Мера качественная и/или количественная пропорция соотношения истин. Во многом пропорция устанавливается произвольно. Термины Мера (в метрологии) синоним единицы измерения. Мера внесистемная русская единица объёма. Мера (философия) философский… …   Википедия

  • Мера Лебега — на   мера, являющаяся продолжением меры Жордана на более широкий класс множеств, была введена Лебегом в 1902 году. Содержание 1 Построение меры на прямой 1.1 …   Википедия

  • ЖОРДАНА МЕРА — параллелепипеда в Rn объем этого параллелепипеда. Для ограниченного множества определяются: внешняя мера Жордана и внутренняя мера Жордана где Dj попарно не пересекаются (здесь Dj параллелепипеды вида (*J). Множество Еназ. измеримым по Жордану… …   Математическая энциклопедия

  • Мера множества — У этого термина существуют и другие значения, см. Мера. Мера множества  неотрицательная величина, интуитивно интерпретируемая как размер (объем) множества. Собственно, мера это некоторая числовая функция, ставящая в соответствие каждому… …   Википедия

  • Жорданова мера — Мера Жордана  один из способов формализации понятия длины, площади и n мерного обьёма в n мерном евклидовом пространстве. Содержание 1 Построение 2 Свойства 3 История …   Википедия

  • Конечно-аддитивная мера — Мера  общее название различных типов обобщений понятий евклидовой длины, площади и n мерного объёма для более общих пространств. Если обратное не указано явно, то обычно подразумевается счётно аддитивная мера. Содержание 1 Определения 1.1 Конечно …   Википедия

  • Конечно аддитивная мера — Мера  общее название различных типов обобщений понятий евклидовой длины, площади и n мерного объёма для более общих пространств. Если обратное не указано явно, то обычно подразумевается счётно аддитивная мера. Содержание 1 Определения 1.1 Конечно …   Википедия

  • Разложение Хана-Жордана — Заряд  вещественнозначная конечно аддитивная функция множества, определённая на некоторой σ алгебре, (например, борелевских подмножеств). В отличие от обычной меры под которой, обычно понимают положительную σ аддитивную функцию множества, заряд… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»