Площадь (в геометрии)

Площадь, одна из основных величин, связанных с геометрическими фигурами. В простейших случаях измеряется числом заполняющих плоскую фигуру единичных квадратов, т. е. квадратов со стороной, равной единице длины.

Вычисление П. было уже в древности одной из важнейших задач практической геометрии (разбивка земельных участков). За несколько столетий до нашей эры греческие учёные располагали точными правилами вычисления П., которые в «Началах» Евклида облечены в форму теорем. При этом П. многоугольников определялись теми же приёмами разложения и дополнения фигур, какие сохранились в школьном преподавании. Для вычисления П. фигур с криволинейным контуром применялся предельный переход в форме исчерпывания метода.

Теория П. плоских фигур, ограниченных простыми (т. е. не пересекающими себя) контурами, может быть построена следующим образом. Рассматриваются всевозможные многоугольники, вписанные в фигуру F, и всевозможные многоугольники, описанные вокруг фигуры F. (Вычисление П. многоугольника сводится к вычислению П. равновеликого ему квадрата, который может быть получен посредством надлежащих прямолинейных разрезов и перекладывания полученных частей.) Пусть {Si} ‒ числовое множество П. вписанных в фигуру многоугольников, a {Sd} ‒ числовое множество П. описанных вокруг фигуры многоугольников. Множество {Si} ограничено сверху (площадью любого описанного многоугольника), а множество {Sd} ограничено снизу (например, числом нуль). Наименьшее из чисел , ограничивающее сверху множество {Si}, называется нижней площадью фигуры F, а наибольшее из чисел , ограничивающее снизу множество {Sd}, называется верхней площадью фигуры F. Если верхняя П. фигуры совпадает с её нижней П., то число S =

называется площадью фигуры, а сама фигура ‒ квадрируемой фигурой. Для того чтобы плоская фигура была квадрируемой, необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа e можно было указать такой описанный вокруг фигуры многоугольник и такой вписанный в фигуру многоугольник, разность Sd‒Si площадей которых была бы меньше e.

Аналитически П. плоской фигуры может быть вычислена с помощью интегралов. Пусть фигура F ‒ т. н. криволинейная трапеция (рис. 1) ‒ ограничена графиком заданной на сегменте [a, b] непрерывной и неотрицательной функции f (x), отрезками прямых х = а и х = b и отрезком оси Ox между точками (а, 0) и (b, 0). П. такой фигуры может быть выражена интегралом

.

П. фигуры, ограниченной замкнутым контуром, который встречается с параллелью к оси Оу не более чем в двух точках, может быть вычислена как разность П. двух фигур, подобных криволинейной трапеции. П. фигуры может быть выражена в виде двойного интеграла:

,

где интегрирование распространяется на часть плоскости, занятой фигурой.

Теория П. фигур, расположенных на кривой поверхности, может быть определена следующим образом. Пусть F ‒ односвязная фигура на гладкой поверхности, ограниченная кусочно гладким контуром. Фигура F разбивается кусочно гладкими кривыми на конечное число частей Фi, каждая из которых однозначно проектируется на касательную плоскость, проходящую через точку Mi, принадлежащую части Фi, (рис. 2). Предел сумм площадей этих проекций (если он существует), взятых по всем элементам разбиения, при условиях, что максимум диаметров этих элементов стремится к нулю и что он не зависит от выбора точек Mi, называется площадью фигуры F. Фигура на поверхности, для которой этот предел существует, называется квадрируемой. Квадрируемыми являются кусочно гладкие ограниченные полные двусторонние поверхности. П. всей поверхности слагается из П. составляющих её частей.

Аналитически П. фигуры F на поверхности, заданной уравнением z = f (x, у), где функция f однозначна и имеет непрерывные частные производные, может быть выражена следующим образом

.

Здесь G ‒ замкнутая область, являющаяся проекцией фигуры F на плоскость Оху, ds ‒ элемент площади на поверхности.

Об обобщении понятия П. см. Мера множеств.

Лит.: Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 2, М., 1969; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, т. 1‒2, М., 1970; Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1‒2, М., 1971‒73.