МОЩНОСТЬ

кардинальное число, множества А- такое свойство этого множества, к-рое присуще любому множеству В, эквивалентному А. При этом два множества наз. эквивалентными (или равно мощным и), если между ними возможно установить взаимно однозначное соответствие. Таким образом, "определяя через абстрактно", можно сказать, что М.- это то, что есть общего у всех эквивалентных множеств. Так как у всех эквивалентных между собою конечных множеств этим общим является количество элементов, или одинаковое число, из к-рых они состоят, то в применении к бесконечным множествам понятие М. является аналогом понятия количества. М. есть фундаментальное понятие теории множеств, принадлежащее Г. Кантору (G. Cantor). Множества, эквивалентные множеству всех натуральных чисел, наз. счетными. Соответствующая М. обозначается (алеф-нуль). М. множеств, эквивалентных множеству всех действительных чисел, наз. М. континуума и обозначается с или . Напр., счетную М. имеет множество всех алгебраич. чисел, а М. континуума имеет множество всех замкнутых подмножеств n-мерного евклидова пространства. Теорема Кантора - Бернштейна: если из двух множеств Аи Вкаждое эквивалентно части другого, то эти два множества эквивалентны. В этом случае говорят, что множества Аи Вимеют одинаковую М. Если множество Аэквивалентно части множества В, тогда как множество Вне эквивалентно никакой части множества А, то говорят, что М. множества Вбольше М. множества А. Теорема Кантора: М. множества всех подмножеств любого непустого множества Абольше М. множества А. Эта теорема дает возможность построить иерархию М. (см. Кардинальное число).

Лит.:[1] Александров П. С, Введение в теорию множеств и общую топологию, М., 1977.

Б. А. Ефимов.