Конечное множество

Конечное множество — множество, количество элементов которого конечно, то есть, существует неотрицательное целое число k, равное количеству элементов этого множества. В противном случае множество называется бесконечным.

Формальное определение

Два множества $X$ и $Y$ называются эквивалентными, если существует биективное отображение одного множества в другое. Если множества X и Y эквивалентны, то этот факт записывают $~X \sim Y$ или $~|X|=|Y|$ и говорят, что множества имеют одинаковые мощности.

Множество $\ X$ называется конечным, если оно эквивалентно множеству $~\{1, 2, \dots, n\}$ при некотором неотрицательном целом $\ n$. При этом число $\ n$ называется количеством элементов множества $\ X$, что записывается как $~|X|=n$.^[1]

В частности, пустое множество является конечным множеством, количество элементов которого равно 0, то есть, $|\emptyset|= 0$.

Свойства

• Регулярное множество не эквивалентно никакому своему собственному подмножеству; ^[1]
• Если конечные множества $X_1, \dots, X_n$ попарно не пересекаются (то есть, $X_i\cap X_j =\emptyset$), то

  $|X_1 \cup X_2 \cup \dots \cup X_n| = |X_1| + |X_2| + \dots + |X_n|$;

• Если $X_1, \dots, X_n$ — конечные множества, то

  $~|X_1 \times X_2 \times \dots \times X_n|=|X_1| \times|X_2| \times \dots \times|X_n|$;

• Если $X$ — конечное множество, то мощность его булеана равна

  $\ |2^X|=2^{|X|}.$

См. также

• Бесконечное множество

Примечания

1. ↑ ^{1 2} Соболева Т. С., Чечкин А. В. Дискретная математика. — Академия, 2006. — ISBN 5-7695-2823-0

Ссылки