Предел числовой последовательности

Предел числовой последовательности — предел последовательности элементов числового пространства. Числовое пространство — это метрическое пространство, расстояние в котором определяется как модуль разности между элементами. Поэтому,

предел числовой последовательности — это такое число, что для всякой сколь угодно малой величины существует номер, начиная с которого уклонение членов последовательности от данной точки становится меньше заранее заданной величины.

Понятие предела последовательности вещественных чисел формулируется совсем просто, а в случае комплексных чисел существование предела последовательности равносильно существованию пределов соответствующих последовательностей вещественных и мнимых частей комплексных чисел.

Предел (числовой последовательности) — одно из основных понятий математического анализа. Каждое вещественное число может быть представлено как предел последовательности приближений к нужному значению. Система счисления предоставляет такую последовательность уточнений. Целые и рациональные числа описываются периодическими последовательностями приближений, в то время как иррациональные числа описываются непериодическими последовательностями приближений.^[1] В численных методах, где используется представление чисел с конечным числом знаков, особую роль играет выбор системы приближений. Критерием качества системы приближений является скорость сходимости. В этом отношении, оказываются эффективными представления чисел в виде цепных дробей.

История

Понятие предела использовалось ещё Ньютоном во второй половине XVII века и математиками XVIII века, такими как Эйлер и Лагранж, однако они понимали предел интуитивно. Первые строгие определения предела последовательности дали Больцано в 1816 году и Коши в 1821 году.

Определение

Число $~a \in \R$ называется пределом числовой последовательности $~\{x_n\}$, если последовательность $~\{x_n - a\}$ является бесконечно малой, т. е. все её элементы, начиная с некоторого, по модулю меньше любого заранее взятого положительного числа.

$\lim_{n \to \infty} x_n = a ~ \Leftrightarrow ~ \forall \varepsilon > 0 ~ \exists N = N(\varepsilon) ~ \forall n \geqslant N \colon |x_n - a| < \varepsilon$

В случае, если у числовой последовательности существует предел в виде вещественного числа $~a$, её называют сходящейся к этому числу. В противном случае, последовательность называют расходящейся. Если к тому же она неограниченна, то её предел полагают равным бесконечности.

$\lim_{n \to \infty} x_n = \infty ~ \Leftrightarrow ~ \forall A > 0 ~ \exists N = N(A) ~ \forall n \geqslant N \colon |x_n| > A$

Кроме того, если все элементы неограниченной последовательности, начиная с некоторого номера, имеют положительный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен плюс бесконечности.

$\lim_{n \to \infty} x_n = +\infty ~ \Leftrightarrow ~ \forall A > 0 ~ \exists N = N(A) ~ \forall n \geqslant N \colon x_n > A$

Если же элементы неограниченной последовательности, начиная с некоторого номера, имеют отрицательный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен минус бесконечности.

$\lim_{n \to \infty} x_n = -\infty ~ \Leftrightarrow ~ \forall A > 0 ~ \exists N = N(A) ~ \forall n \geqslant N \colon x_n < -A$

Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей.

Верхний предел последовательности — это наибольшая из её предельных точек.

Нижний предел последовательности — это наименьшая из её предельных точек.

Обозначения

Тот факт, что последовательность $~\{x_n\}$ сходится к числу $~a$ обозначается одним из следующих способов:

• $\lim_{n \to \infty} x_n = a$

• $x_n ~ \xrightarrow[n \to \infty]{} ~ a$

Свойства

Существуют определённые особенности для предела последовательностей вещественных чисел.^[2]

Можно дать альтернативные определения предела последовательности. Например, называть пределом число, в любой окрестности которого содержится бесконечно много элементов последовательности, в то время, как вне таких окрестностей содержится лишь конечное число элементов. Таким образом, пределом последовательности может быть только предельная точка множества её элементов. Это определение согласуется с общим определением предела для топологических пространств.

Это определение обладает неустранимым недостатком: оно объясняет, что такое предел, но не даёт ни способа его вычисления, ни информации о его существовании. Всё это выводится из доказываемых ниже свойств предела.

Свойства

Арифметические свойства

• Оператор взятия предела числовой последовательности является линейным, т. е. проявляет два свойства линейных отображений.
  • Аддитивность. Предел суммы числовых последовательностей есть сумма их пределов, если каждый из них существует.

    $\lim_{n \to \infty} (x_n + y_n) = \lim_{n \to \infty} x_n + \lim_{n \to \infty} y_n$

  • Однородность. Константу можно выносить из-под знака предела.

    $\forall k \in \R \colon \lim_{n \to \infty} k x_n = k \lim_{n \to \infty} x_n$

• Предел произведения числовых последовательностей факторизуется на произведение пределов, если каждый из них существует.

  $\lim_{n \to \infty}(x_n \cdot y_n) = \lim_{n \to \infty} x_n \cdot \lim_{n \to \infty} y_n$

• Предел отношения числовых последовательностей есть отношение их пределов, если эти пределы существуют и последовательность-делитель не является бесконечно малой.

  $\lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{y_n} = \frac{\lim \limits_{n \to \infty} x_n}{\lim \limits_{n \to \infty}y_n}$

Свойства сохранения порядка

• Если все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, не превышают некоторого числа, то и предел этой последовательности также не превышает этого числа.

  $\exists N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n \leqslant a ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \leqslant a$

• Если некоторое число не превышает все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, то оно также не превышает и предела этой последовательности.

  $\exists N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n \geqslant a ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \geqslant a$

• Если некоторое число строго превышает все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, то предел этой последовательности не превышает этого числа.

  $\exists N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n < a ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \leqslant a$

• Если все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, строго превышают некоторое число, то это число не превышает предела этой последовательности.

  $\exists N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n > a ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \geqslant a$

• Если, начиная с некоторого номера, все элементы одной сходящейся последовательности не превышают соответствующих элементов другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности не превышает предела второй.

  $\exists N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n \leqslant y_n ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \leqslant \lim_{n \to \infty} y_n$

• Для числовых последовательностей справедлива теорема о двух милиционерах (принцип двустороннего ограничения).

  $\exists N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n \leqslant z_n \leqslant y_n ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \leqslant \lim_{n \to \infty} z_n \leqslant \lim_{n \to \infty} y_n$

Другие свойства

• Сходящаяся числовая последовательность имеет только один предел.

  $\lim_{n \to \infty} x_n = a ~ \land ~ \lim_{n \to \infty} x_n = b ~ \Rightarrow ~ a = b$

• Замкнутость. Если все элементы сходящейся числовой последовательности лежат на некотором отрезке, то на этом же отрезке лежит и её предел.

  $\forall n \in \N \colon x_n \in [a,~b] ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \in [a,~b]$

• Предел последовательности из одного и того же числа равен этому числу.

  $\lim_{n \to \infty} x = x$

• Замена или удаление конечного числа элементов в сходящейся числовой последовательности не влияет на её предел.

• У возрастающей ограниченной сверху последовательности есть предел. То же верно для убывающей ограниченной снизу последовательности.

• Имеет место теорема Штольца.

• Если у последовательности $x_n$ существует предел, то последовательность средних арифметических $\frac{x_1 + \dots + x_n}{n}$ имеет тот же предел (следствие из теоремы Штольца).

• Если у последовательности чисел $~\{x_n\}$ существует предел $~x$, и если задана функция $~f(x)$, определенная для каждого $~x_n$ и непрерывная в точке $~x$, то

  $\lim_{n\to\infty}{f(x_{n})}=f(x)$

Примеры

• $\lim_{n \to \infty} 0,\underbrace{33\cdots3}_{n} = 1 / 3$

• $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n}{n} = 0$

• $\forall q \in \R \colon \lim_{n \to \infty} \frac{q^n}{n!} = 0$

• $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1$

• $\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = e$

• $\forall a \in \R\setminus\{0\} \colon \lim_{n \to \infty} \underbrace{\sqrt{a + \sqrt{a + \cdots + \sqrt{a}}}}_{n} = \frac{1 + \sqrt{1 + 4 a}}{2}$

• $\lim_{n \to \infty} x_n = x ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\prod_{k = 1}^{n} x_k} = x$

• $\forall n \in \N \colon x_n > 0 ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} \frac{x_{n+1}}{x_n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{x_n}$

• $\lim_{n \to \infty} n = +\infty$

• $\nexists \lim_{n \to \infty} (-1)^n$

Случай комплексных чисел

Комплексное число $a$ называется пределом последовательности $\{z_n\}$, если для любого положительного числа $\varepsilon$ можно указать такой номер $N=N(\varepsilon)$, начиная с которого все элементы $z_n$ этой последовательности удовлетворяют неравенству
$|z_n - a|< \varepsilon$ при $n \ge N(\varepsilon)$

Последовательность $\{z_n\}$, имеющая предел $a$, называется сходящейся к числу $a$, что записывается в виде $\lim_{n \to \infty}z_n = a$.

Примеры

Не у всякой ограниченной последовательности существует предел. Например, если взять в качестве пространства множество вещественных чисел со стандартной топологией, а в качестве $x_n$ последовательность $x_n = (-1)^n$, то у неё не будет предела (однако у неё можно найти верхний и нижний пределы, $1, -1$, то есть пределы её подпоследовательностей — частичные пределы).

Замечания

• Произведение бесконечно малой последовательности на бесконечно большую может стремиться в пределе к чему угодно, либо не иметь предела.

См. также

• Частичный предел
• Замечательные пределы
• Фундаментальная последовательность
• Ряд
• Предел функции
• Неопределённости пределов
• Сравнение бесконечно малых величин
• Последовательность

Примечания

1. ↑ Здесь подразумевается повторение чисел в записи числа в некоторой фиксированной системе счисления.
2. ↑ В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 3. Теория пределов // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 68 — 105. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7

Ссылки

• В Викиверситете есть материалы по теме Предел последовательности