Монотонная последовательность

Монотонная последовательность — это последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают. Подобные последовательности часто встречаются при исследованиях и имеют ряд отличительных особенностей и дополнительных свойств. Последовательность из одного числа не может считаться возрастающей или убывающей.

Определения

Пусть имеется множество $~X$, на котором введено отношение порядка.

Последовательность $~\{x_n\}$ элементов множества $~X$ называется неубывающей, если каждый элемент этой последовательности не превосходит следующего за ним.

$~\{x_n\}$ — неубывающая $~ \Leftrightarrow ~ \forall n \in \N \colon x_n \leqslant x_{n+1}$

Последовательность $~\{x_n\}$ элементов множества $~X$ называется невозрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности не превосходит предыдущего.

$~\{x_n\}$ — невозрастающая $~ \Leftrightarrow ~ \forall n \in \N \colon x_n \geqslant x_{n+1}$

Последовательность $~\{x_n\}$ элементов множества $~X$ называется возрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности превышает предыдущий.

$~\{x_n\}$ — возрастающая $~ \Leftrightarrow ~ \forall n \in \N \colon x_n < x_{n+1}$

Последовательность $~\{x_n\}$ элементов множества $~X$ называется убывающей, если каждый элемент этой последовательности превышает следующий за ним.

$~\{x_n\}$ — убывающая $~ \Leftrightarrow ~ \forall n \in \N \colon x_n > x_{n+1}$

Последовательность называется монотонной, если она является неубывающей, либо невозрастающей.^[1]

Последовательность называется строго монотонной, если она является возрастающей, либо убывающей.

Очевидно, что строго монотонная последовательность является монотонной.

Иногда используется вариант терминологии, в котором термин «возрастающая последовательность» рассматривается в качестве синонима термина «неубывающая последовательность», а термин «убывающая последовательность» — в качестве синонима термина «невозрастающая последовательность». В таком случае возрастающие и убывающие последовательности из вышеприведённого определения называются «строго возрастающими» и «строго убывающими», соответственно.

Промежутки монотонности

Может оказаться, что вышеуказанные условия выполняются не для всех номеров $n\in\mathbb N$, а лишь для номеров из некоторого диапазона

$I=\{n\in\mathbb N\mid N_{-}\leqslant n<N_{+}\}$

(здесь допускается обращение правой границы $~N_{+}$ в бесконечность). В этом случае последовательность называется монотонной на промежутке $~I$, а сам диапазон $~I$ называется промежутком монотонности последовательности.

Примеры

• Последовательность натуральных чисел.
  • $\forall n \in \N \colon x_n = n$.
  • Начальные отрезки: $(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, \cdots)$.
  • Возрастающая последовательность.
  • Состоит из натуральных чисел.
  • Ограничена снизу, сверху не ограничена.

• Последовательность Фибоначчи.
  • $x_n = \begin{cases} 1, & n = 1 \lor n = 2 \\ x_{n - 1} + x_{n - 2}, & n \geqslant 3 \end{cases}$
  • Начальные отрезки: $(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \cdots)$.
  • Неубывающая последовательность.
  • Состоит из натуральных чисел.
  • Ограничена снизу, сверху не ограничена.

• Геометрическая прогрессия с основанием $~1/2$.
  • $\forall n \in \N \colon x_n = \frac{1}{2^{n-1}}$.
  • Начальные отрезки: $~(1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, \cdots)$.
  • Убывающая последовательность.
  • Состоит из рациональных чисел.
  • Ограничена с обеих сторон.

• Последовательность, сходящаяся к числу e.
  • $\forall n \in \N \colon x_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$.
  • Начальные отрезки: $~(2, 9/4, 64/27, 625/256, \cdots)$.
  • Возрастающая последовательность.
  • Состоит из рациональных чисел, но сходится к трансцендентному числу.
  • Ограничена с обеих сторон.

• Последовательность рациональных чисел вида $x_n=\,\!(n-5)^2$ не является монотонной. Тем не менее, она (строго) убывает на отрезке $\{1,\,\!2, 3, 4\}$ и (строго) возрастает на промежутке $\{n\in\mathbb N\mid n\geqslant 5\}$.

Свойства

• Ограниченность.
  • Всякая неубывающая последовательность ограничена снизу.
  • Всякая невозрастающая последовательность ограничена сверху.
  • Всякая монотонная последовательность ограничена по крайней мере с одной стороны.

• Монотонная последовательность сходится тогда и только тогда, когда она ограничена с обеих сторон.(Теорема Вейерштрасса об ограниченных монотонных последовательностях)
  • Сходящаяся неубывающая последовательность ограничена сверху своим пределом.
  • Сходящаяся невозрастающая последовательность ограничена снизу своим пределом.

Примечания

1. ↑ В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 3. Теория пределов // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 68 — 105. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7

См. также

• Монотонная функция