Замечательные пределы

Замечательные пределы

Замеча́тельные преде́лы — термин, использующийся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения некоторых широко известных математических тождеств со взятием предела. Особенно известны:

  • Первый замечательный предел:
    \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1.
  • Второй замечательный предел:
    \lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e.

Содержание

Первый замечательный предел

\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1

Доказательство

Sinx x limit proof.svg

Рассмотрим односторонние пределы \lim_{x \to 0+}\frac{\sin x}{x} и \lim_{x \to 0-}\frac{\sin x}{x} и докажем, что они равны 1.

Пусть x \in (0; \frac{\pi}{2}). Отложим этот угол на единичной окружности (R = 1).

Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке (1;  0). Точка H — проекция точки K на ось OX.

Очевидно, что:

S_{\triangle OKA} < S_{sect OKA} < S_{\triangle OAL} (1)

(где S_{sect OKA} — площадь сектора OKA)

S_{\triangle OKA} = \frac{1}{2} \cdot |OA| \cdot |KH| = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sin x = \frac{\sin x}{2}
S_{sect OKA} = \frac{1}{2} R^2 x = \frac{x}{2}
S_{\triangle OAL} = \frac{1}{2} \cdot |OA| \cdot |LA| = \frac{\mathrm{tg} x}{2}

(из \triangle OAL: |LA| = \mathrm{tg} x)

Подставляя в (1), получим:

\frac{\sin x}{2} < \frac{x}{2} < \frac{\mathrm{tg} x}{2}

Так как при x \to 0+: \sin x > 0, x > 0, \mathrm{tg} x > 0:

\frac{1}{\mathrm{tg} x} < \frac{1}{x} < \frac{1}{\sin x}

Умножаем на \sin x:

\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1

Перейдём к пределу:

\lim_{x \to 0+} \cos x \leqslant \lim_{x \to 0+}\frac{\sin x}{x} \leqslant 1
1 \leqslant \lim_{x \to 0+}\frac{\sin x}{x} \leqslant 1
\lim_{x \to 0+}\frac{\sin x}{x} = 1

Найдём левый односторонний предел:

\lim_{x \to 0-}\frac{\sin x}{x} =
\left [ \begin{matrix}
  u = -x \\
  x = -u \\
  u \to 0+ \\
  x \to 0-
\end{matrix} \right ] =
\lim_{u \to 0+}\frac{\sin(-u)}{-u} =
\lim_{u \to 0+}\frac{-\sin(u)}{-u} =
\lim_{u \to 0+}\frac{\sin(u)}{u} = 1

Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.

Следствия

  • \lim_{x \to 0}\frac{\mathrm{tg} x}{x} = 1
  • \lim_{x \to 0}\frac{\arcsin x}{x} = 1
  • \lim_{x \to 0}\frac{\mathrm{arctg} x}{x} = 1
  • \lim_{x \to 0}\frac{1 - \cos x}{ \frac{x^2}{2} } = 1

Доказательства

\lim_{x \to 0}\frac{\mathrm{tg} x}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x \cos x} = \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} \cdot \lim_{x \to 0}\frac{1}{\cos x} = 1 \cdot 1 = 1
\lim_{x \to 0}\frac{\arcsin x}{x} =
\left [ \begin{matrix}
  u = \arcsin x \\
  x = \sin u \\
  u \to 0 \\
  x \to 0
\end{matrix} \right ] =
\lim_{u \to 0}\frac{u}{\sin u} = 1
\lim_{x \to 0}\frac{\mathrm{arctg} x}{x} =
\left [ \begin{matrix}
  u = \mathrm{arctg} x \\
  x = \mathrm{tg} u \\
  u \to 0 \\
  x \to 0
\end{matrix} \right ] =
\lim_{u \to 0}\frac{u}{\mathrm{tg} u} = 1
\lim_{x \to 0}\frac{1 - \cos x}{\frac{x^2}{2} } =
\lim_{x \to 0}\frac{ \sin^2 \frac{x}{2}}{\frac{x^2}{4}} = 1^2 = 1

Второй замечательный предел

\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e или \lim_{x \to 0}\left(1 + x\right)^{1/x} = e

Доказательство второго замечательного предела:

Доказательство для натуральных значений

\blacktriangleleft  Докажем вначале теорему для случая последовательности x_{n} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n; n\mathcal{2}~\mathbb N

По формуле бинома Ньютона: (a + b)^n = a^n~+~\frac{n}{1}\cdot a^{n-1}\cdot b~+~\frac{n(n-1)}{1\cdot 2}\cdot a^{n-2}\cdot b^2 ~+~ ... ~+~ \frac{n(n-1)(n-2)...(n-(n-1))}{1\cdot 2\cdot 3 \cdot ... \cdot n}\cdot b^n; n\mathcal{2}~\mathbb N

Полагая a=1;~b=\frac{1}{n}, получим:

\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = 1~+~\frac{n}{1}\cdot\frac{1}{n}~+~\frac{n(n-1)}{1\cdot2}\cdot \frac{1}{n^2}~+~\frac{n(n-1)(n-2)}{1\cdot2\cdot3}\cdot\frac{1}{n^3}~+~...~+~\frac{n(n-1)(n-2)...(n-(n-1))}{1\cdot2\cdot3\cdot...\cdot n}\cdot \frac{1}{n^n} =
 =1~+~1~+~\frac{1}{1\cdot2}\cdot\left(1-\frac{1}{n}\right)~+~\frac{1}{1\cdot2\cdot3}\cdot\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdot\left(1-\frac{2}{n}\right)~+~ ... ~+~ \frac{1}{1\cdot2\cdot3\cdot...\cdot n}\cdot\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdot\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdot...\cdot\left(1-\frac{n-1}{n}\right) ~~~~~       (1)

Из данного равенства (1) следует, что с увеличением n число положительных слагаемых в правой части увеличивается. Кроме того, при увеличении n число \frac{1}{n} убывает, поэтому величины \left(1 - \frac{1}{n}\right), \left(1-\frac{2}{n}\right), ... возрастают. Поэтому последовательность \{x_{n}\} = \left\{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\right\}; n\mathcal{2}\Nu возрастающая, при этом

\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n > 2 ~~~~~      (2).

Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства на единицу, правая часть увеличится, получим неравенство

\left(1+\frac{1}{n}\right)^n < 1+1+\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{1\cdot2\cdot3}~+~...~+~\frac{1}{1\cdot2\cdot3\cdot ... \cdot n}

Усилим полученное неравенство, заменим 3,4,5, …, стоящие в знаменателях дробей, числом 2:

\left(1+\frac{1}{n}\right)^n<1+\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{n-1}}\right).

Сумму в скобке найдём по формуле суммы членов геометрической прогрессии:

1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{n-1}} = \frac{1\cdot\left(1-(\frac{1}{2})^n\right)}{1-\frac{1}{2}}=2\cdot \left(1-\frac{1}{2^n}\right)<2.

Поэтому \left(1+\frac{1}{n}\right)^n<1+2=3~~~~~      (3).

Итак, последовательность ограничена сверху, при этом \mathcal{8} n\mathcal{2}~\mathbb N выполняются неравенства (2) и (3):   2~<~\left(1+\frac{1}{n}\right)^n~<~3.

Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса (критерий сходимости последовательности) последовательность x_{n} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n, n\mathcal{2}~\mathbb N монотонно возрастает и ограниченна, значит имеет предел, обозначаемый буквой e. Т.е. \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e \blacktriangleright

\blacktriangleleft   Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что \lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e;x\mathcal{2}~\mathbb R . Рассмотрим два случая:

1. Пусть x \rightarrow +\mathcal{1}. Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: n\leqslant x<n+1, где ~n = [x] — это целая часть x.

Отсюда следует: \frac{1}{n+1}<\frac{1}{x}\leqslant \frac{1}{n}~~\Longleftrightarrow~~1+\frac{1}{n+1}<1+\frac{1}{x}\leqslant 1+\frac{1}{n}, поэтому
\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^n<\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\leqslant \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}.
Если x \rightarrow +\mathcal{1}, то n \rightarrow \mathcal{1}. Поэтому, согласно пределу \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e, имеем:
\lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n+1}\right)^n = \frac{\lim\limits_{n \to \infty}(1 + \frac{1}{n+1})^{n+1}}{\lim\limits_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n+1}\right)} = \frac{e}{1}=e
\lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1} = \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\cdot \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)=e\cdot 1=e.
По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов \lim_{x \to +\infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e.

2. Пусть x \to -\infty. Сделаем подстановку - x = t, тогда

\lim_{x \to -\infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = \lim_{t \to +\infty}\left(1 - \frac{1}{t}\right)^{-t}= \lim_{t \to +\infty}\left(\frac{t}{t-1}\right)^t = \lim_{t \to +\infty}\left(1 + \frac{1}{t-1}\right)^t =
 = \lim_{t \to +\infty}\left(1 + \frac{1}{t-1}\right)^{t-1}\cdot \lim_{t \to +\infty}\left(1 + \frac{1}{t-1}\right)^1 = e\cdot1=e.

Из двух этих случаев вытекает, что \lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e для вещественного x.    \blacktriangleright

Следствия

  1. \lim_{u \to 0}(1 + u)^\frac{1}{u}=e
  2. \lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{k}{x}\right)^x = e^k
  3. \lim_{x \to 0}\frac{\ln(1 + x)}{x} = 1
  4. \lim_{x \to 0}\frac{e^x - 1}{x} = 1
  5. \lim_{x \to 0}\frac{a^x - 1}{x \ln a} = 1 для a > 0 \,\!, a \neq 1 \,\!
  6. \lim_{x \to 0}\frac{(1 + x)^\alpha - 1}{\alpha x} = 1

Доказательства следствий

  1. \lim_{u \to 0}(1 + u)^\frac{1}{u} =
\left [ \begin{matrix}
  u = 1/x \\
  x \to \infty
\end{matrix} \right ] =\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x=e
  2. \lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{k}{x}\right)^x =
\left [ \begin{matrix}
  u = x/k \\
  x = k u \\
  u \to \infty \\
  x \to \infty
\end{matrix} \right ] =
\lim_{u \to \infty}\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{ku} =
\left(\lim_{u \to \infty}\left(1 + \frac{1}{u}\right)^u\right)^k =
e^k
  3. \lim_{x \to 0}\frac{\ln(1 + x)}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{1}{x}\ln(1 + x) = \lim_{x \to 0}\ln((1 + x)^\frac{1}{x}) = \ln e = 1
  4. \lim_{x \to 0}\frac{e^x - 1}{x} =
\left [ \begin{matrix}
  u = e^x - 1 \\
  x = \ln(1 + u) \\
  x \to 0 \\
  u \to 0
\end{matrix} \right ] =
\lim_{u \to 0}\frac{u}{\ln(1 + u)} = 1
  5. 
\lim_{x \to 0}\frac{a^x - 1}{x \ln a} =
\lim_{x \to 0}\frac{e^{\ln(a^x)} - 1}{x \ln a} =
\lim_{x \to 0}\frac{e^{x \ln a} - 1}{x \ln a} =
\left [ \begin{matrix}
  u = x \ln a \\
  u \to 0 \\
  x \to 0
\end{matrix} \right ] =
\lim_{u \to 0}\frac{e^u - 1}{u} = 1
  6. \lim_{x \to 0}\frac{(1 + x)^\alpha - 1}{\alpha x} =
\lim_{x \to 0}\frac{e^{\alpha \ln(1+x)} - 1}{\alpha x} =
\left[ \ln(1+x) \sim x \right] =
\lim_{x \to 0}\frac{e^{\alpha x} - 1}{\alpha x} = 1

Литература

См. также


Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Полезное


Смотреть что такое "Замечательные пределы" в других словарях:

  • Пределы функции на бесконечности — График функции, предел которой при аргументе, стремящемся к бесконечности, равен L. Предел функции  одно из основных понятий математического анализа. Функция f(x) имеет предел A в точке x0, если для всех значений x, достаточно близких к x0,… …   Википедия

  • Предел функции — x 1 0.841471 0.1 0.998334 0.01 0.999983 Хотя функция (sin x)/x в нуле не определена, когда x приближается к нулю, значение (sin x)/x становится сколь угодно близко к 1. Другими словами, предел функции (sin x)/x при x, стремящемся к …   Википедия

  • Предел числовой последовательности — Предел числовой последовательности  предел последовательности элементов числового пространства. Числовое пространство  это метрическое пространство, расстояние в котором определяется как модуль разности между элементами. Поэтому, предел …   Википедия

  • Предел (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Предел. Предел одно из основных понятий математического анализа. Различают предел последовательности и предел функции. Понятие предела на интуитивном уровне использовалось ещё во второй половине… …   Википедия

  • Функция sinc(x) — Функция sinc(x) …   Википедия

  • Sinc — Графики нормированной и ненор …   Википедия

  • Sinc-функция — Графики нормированной и ненормированной функций sinc (x) в диапазоне −10π ≤ x ≤ 10π Sinc функция, обозначаемая , (от лат. sinus cardinalis  кардинальный синус) имеет два определения, соответственно для нормированной sinc функции и ненормированной …   Википедия

  • Sinc функция — Графики нормированной и ненормированной функций sinc (x) в диапазоне −10π ≤ x ≤ 10π Sinc функция, обозначаемая , (от лат. sinus cardinalis  кардинальный синус) имеет два определения, соответственно для нормированной sinc функции и ненормированной …   Википедия

  • Sinus — Графики нормированной и ненормированной функций sinc (x) в диапазоне −10π ≤ x ≤ 10π Sinc функция, обозначаемая , (от лат. sinus cardinalis  кардинальный синус) имеет два определения, соответственно для нормированной sinc функции и ненормированной …   Википедия

  • sinc — …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»