- Замечательные пределы
-
Эта статья или раздел нуждается в переработке. Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей.Замеча́тельные преде́лы — термин, использующийся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения некоторых широко известных математических тождеств со взятием предела. Особенно известны:
- Первый замечательный предел:
- Второй замечательный предел:
Содержание
Первый замечательный предел
Доказательство
Рассмотрим односторонние пределы и и докажем, что они равны 1.
Пусть . Отложим этот угол на единичной окружности ().
Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке . Точка H — проекция точки K на ось OX.
Очевидно, что:
- (1)
(где — площадь сектора )
(из : )
Подставляя в (1), получим:
Так как при :
Умножаем на :
Перейдём к пределу:
Найдём левый односторонний предел:
Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.
Следствия
Доказательства
Второй замечательный предел
или
Доказательство второго замечательного предела:
Доказательство для натуральных значений
Докажем вначале теорему для случая последовательности
По формуле бинома Ньютона:
Полагая , получим:
- (1)
Из данного равенства (1) следует, что с увеличением n число положительных слагаемых в правой части увеличивается. Кроме того, при увеличении n число убывает, поэтому величины возрастают. Поэтому последовательность — возрастающая, при этом
- (2).
Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства на единицу, правая часть увеличится, получим неравенство
Усилим полученное неравенство, заменим 3,4,5, …, стоящие в знаменателях дробей, числом 2:
- .
Сумму в скобке найдём по формуле суммы членов геометрической прогрессии:
- .
Поэтому (3).
Итак, последовательность ограничена сверху, при этом выполняются неравенства (2) и (3): .
Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса (критерий сходимости последовательности) последовательность монотонно возрастает и ограниченна, значит имеет предел, обозначаемый буквой e. Т.е.
Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что . Рассмотрим два случая:
1. Пусть . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: , где — это целая часть x.
- Отсюда следует: , поэтому
- .
- Если , то . Поэтому, согласно пределу , имеем:
- .
- По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов .
2. Пусть . Сделаем подстановку , тогда
- .
Из двух этих случаев вытекает, что для вещественного x.
Следствия
- для ,
Доказательства следствий
Литература
- Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа (в двух частях). — М.: Физматлит, 2005. — С. 24-25. — ISBN 5-9221-0536-1
См. также
Категории:- Математический анализ
- Пределы
- Первый замечательный предел:
Wikimedia Foundation. 2010.