Оператор (математика)

Оператор (математика)

Опера́тор (позднелат. operator — работник, исполнитель, от operor — работаю, действую) — то же, что отображение в математике.

Термин оператор встречается в разных разделах математики, его точное значение зависит от раздела. Как правило, под операторами понимают какие-то особые (для данной области математики) отображения, например в функциональном анализе под операторами понимают отображение, ставящее в соответствие функции другую функцию («оператор на пространстве функций» звучит лучше, чем «функция от функции»).

Наиболее часто встречающиеся операторы:

  • Функциональный анализ: Операторы на пространствах функций (дифференцирование, интегрирование, свертка с ядром, преобразование Фурье).
  • Линейная алгебра: Отображения (в особенности линейные) векторных пространств (проекторы, повороты координат, гомотетии, умножения вектора на матрицу).
  • Дискретная математика: Преобразование последовательностей (свертки дискретных сигналов, медианный фильтр и т. п.).

Содержание

Основная терминология

Пусть оператор A действует из множества X в множество Y.

Простые примеры

Оператор, действующий над пространствами функций — это правило, согласно которому одна функция преобразуется в другую. Преобразование функции x(t) согласно правилу A в другую функцию y(t) имеет вид y(t)=A\{x(t)\} или, проще, y=Ax.

Примеры подобных преобразований — умножение на число: y(t)=cx(t) и дифференцирование: \scriptstyle y(t)=\frac{dx(t)}{dt}. Соответствующие операторы называются операторами умножения на число, дифференцирования, интегрирования, решения дифференциального уравнения и т. д.

Операторы, изменяющие аргумент функции, называются операторами преобразования или преобразованиями. Преобразование подменяет координатные оси, отображает функцию в другое пространство. Например преобразование Фурье из временной в частотную область:

F(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-it\omega}\,dt=\mathcal{F}\{f(t)\}.

Отличие оператора от простой суперпозиции функций в данном случае заключается в том, что значение функции y, вообще говоря, в каждой точке t зависит не только от x(t), а от значений функции x во всех точках t. Поясним на примере преобразования Фурье. Значение этого преобразования (спектр функции) в точке \omega меняется при непрерывном изменении исходной функции в окрестности любой точки t.

Изучением общих свойств операторов и применением их к решению различных задач занимается теория операторов. Например, оказывается, что у оператора умножения вектора на матрицу и оператора свёртки функции с весом есть много общих свойств.

Фундаментальным для практики является класс так называемых линейных операторов. Он также является наиболее исследованным. В качестве примера линейного оператора можно привести операцию умножения n-мерного вектора на матрицу размером n\times m. Этот оператор отображает n-мерное пространство векторов в m-мерное.

Линейные операторы

Оператор L (действующий из векторного пространства в векторное же) называется линейным однородным (или просто линейным), если он обладает следующими свойствами:

  1. может применяться почленно к сумме аргументов:
    L(x_1+x_2)=L(x_1)+L(x_2);
  2. скаляр (постоянную величину) c можно выносить за знак оператора:
    L(cx)=cL(x);

Из 2) следует, что для линейного однородного оператора справедливо свойство L(0)=0.

Оператор L называется линейным неоднородным, если он состоит из линейного однородного оператора с прибавлением некоторого фиксированного элемента:

L\{x\}=L_0\{x\}+\varphi,

где L_0 — линейный однородный оператор.

В случае линейного преобразования дискретных функций (последовательностей, векторов) новые значения функций y_k являются линейными функциями от старых значений x_k:

y_k=\sum_{l=1}^n T_{kl}\,x_l.

В более общем случае непрерывных функций двумерная матрица весов принимает вид функции двух переменных K(t,\;\omega), и называется ядром линейного интегрального преобразования:

\varphi(t)=\int\limits_V\!K(t,\omega)f(\omega)\,d\omega=K\{f(\omega)\}.

Функция-операнд f(\omega) в данном случае называется спектральной функцией. Спектр может быть и дискретным, тогда f(\omega) заменяется вектором W. В этом случае \varphi(t) представимо конечным или бесконечным рядом функций:

\varphi(t)=\sum_{i=1}^n T_i(t)w_i.

Единичный (тождественный) оператор

Оператор E, ставящий в соответствие каждому вектору \mathbf{a} сам вектор \mathbf{a}, очевидно, линейный; он называется единичным или тождественным оператором.

Частный случай линейного оператора, возвращающий операнд в неизменном виде:

E\mathbf{a}=\mathbf{a},

то есть как матричный оператор определяется равенством

\sum_k E_{ik}\,a_k=a_i

и как интегральный оператор — равенством

\int\limits_\alpha^\beta\!E(x,t)a(t)\,dt=a(x).

Единичная матрица E_{ik} записывается большей частью с помощью символа \delta_{ik}=\delta_{ki} (символ Кронекера). Имеем: \delta_{ik}=1 при i=k и \delta_{ik}=0 при i\neq k.

Единичное ядро E(x,t) записывается в виде E(x,t)=\delta(t-x) (дельта-функция). \delta(x-t)=0 всюду, кроме x=t, где функция становится бесконечной и притом такой, что

\int\limits_\alpha^\beta\!\delta(x-t)\,dt=1.

Запись

В математике и технике широко применяется условная форма записи операторов, аналогичная алгебраической символике. Такая символика в ряде случаев позволяет избежать сложных преобразований и записывать формулы в простой и удобной форме. Аргументы оператора называются операндами, число операндов называется арностью оператора (например, одинарный, бинарный). Написание операторов можно систематизировать следующим образом:

  • префиксная: где первым идёт оператор и операнды следом, например:
Q(x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_n);
  • постфиксная: если символ оператора следует за операндами, например:
(x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_n)\;Q;
  • инфиксная: оператор вставляется между операндами, применяется преимущественно с двоичными операторами:
x_1\;Q\;x_2;
  • позиционная: знак оператора опускается, оператор присутствует неявно. Чаще всего не пишется оператор произведения (переменных, численного значения на физическую единицу, матриц, композиция функций), например, 3 кг. Такая способность одного оператора действовать над разнородными сущностями достигается перегрузкой операторов;
  • подстрочная или надстрочная слева или справа; главным образом используется для операций возведения в степень и выбора элемента вектора по индексу.

Как можно заметить, запись оператора часто принимает сокращённую форму от общепринятой записи функций. При использовании префиксной или постфиксной записи скобки опускаются в большинстве случаев, если известна арность оператора. Так, одинарный оператор Q над функцией f обычно для краткости записывается Qf вместо Q(f); скобками пользуются для ясности, например, операция над произведением Q(fg). Q, действующий на f(x), также записывают (Qf)(x). Для обозначения некоторых операторов вводятся специальные знаки, например, унарные n! (факториал «!», справа от операнда), -n (отрицание, слева) или каллиграфические символы, как в случае с Фурье-преобразованием функции \mathcal{F}\{f(t)\}. Возведение в степень n^x можно считать бинарным оператором двух аргументов либо степенной или показательной функцией одного аргумента.

Символ линейного дифференциального оператора

Символ линейного дифференциального оператора сопоставляет дифференциальному оператору многочлен, грубо говоря, заменяя композицию частных производных на произведение ассоциированных с ними переменных. Старшие мономы символа оператора (главный символ оператора) отражают качественное поведение решения уравнения в частных производных, соответствующего этому оператору. Линейные эллиптические уравнения в частных производных характеризуются тем, что их главный символ нигде не обращается в 0.

Пусть x=(x_1,\ldots, x_n) и имеются мультииндексы \alpha=(\alpha_1,\ldots, \alpha_n) и \beta=(\beta_1,\ldots, \beta_n). Тогда положим

\begin{align}D^\alpha x^\beta&= \frac{\part^{\vert\alpha\vert}}{\part x_1^{\alpha_1} \cdots \part x_n^{\alpha_n}} x_1^{\beta_1} \cdots x_n^{\beta_n}\\
&= \frac{\part^{\alpha_1}}{\part x_1^{\alpha_1}} x_1^{\beta_1} \cdots
\frac{\part^{\alpha_n}}{\part x_n^{\alpha_n}} x_n^{\beta_n}.\end{align}

Пусть P -- линейный дифференциальный оператор порядка k на евклидовом пространстве Rd. Тогда P является полиномом от производной D, в мультииндексной записи это будет записываться так

P = p(x,D) = \sum_{|\alpha|\le k} a_\alpha(x) D^\alpha.

Полином p, по определению, является полным символом P:

\sigma P(\xi) = p(x,\xi) = \sum_{|\alpha|\le k} a_\alpha\xi^\alpha.

Главный символ оператора состоит из мономов максимальной степени σP:

\sigma_P (\xi) = \sum_{|\alpha|= k} a_\alpha\xi^\alpha

и является частью полного символа оператора, которая преобразуется как тензор при замене координат.

См. также

Источники

  • Вентцель Е. С. Теория вероятностей — 1998, стр. 388—390
  • Маделунг Э. Математический аппарат физики — стр. 34
  • (1995) Оператор. Математический энциклопедический словарь. Гл. ред. Ю. В. Прохоров. М.: «Большая российская энциклопедия».



Wikimedia Foundation. 2010.

Поможем написать реферат

Полезное


Смотреть что такое "Оператор (математика)" в других словарях:

  • Оператор — В Викисловаре есть статья «оператор» Оператор может означать: Оператор (математика)  то же, что математическая функция; Оператор (биология)  последовательность ДНК, принимающая участие в регуляции активности генов; Оператор… …   Википедия

  • Оператор набла — (оператор Гамильтона)  векторный дифференциальный оператор, обозначаемый символом (набла) (в Юникоде U+2207, ∇). Для трёхмерного евклидова пространства в прямоугольных декартовых координатах[1] оператор набла определяется следующим образом …   Википедия

  • Математика Древнего Востока — История науки По тематике Математика Естественные науки …   Википедия

  • Линейный оператор — Линейным отображением (линейным оператором) векторного пространства LK над полем K в векторное пространство MK (над тем же полем K) называется отображение , удовлетворяющее условию линейности f(αx + βy) = αf(x) + βf(y). для всех и …   Википедия

  • РАЗНОСТНЫЙ ОПЕРАТОР — оператор, действующий в пространстве сеточных функций. Р. о. возникают при аппроксимации дифференциальной задачи разностной и являются предметом изучения разностных схем теории. Разностную схему можно рассматривать как операторное уравнение с… …   Математическая энциклопедия

  • Функция (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. функция. Запрос «Отображение» перенаправляется сюда; см. также другие значения …   Википедия

  • ЛИНЕЙНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР — в узком смысле оператор, действующий на функции, заданные на открытом множестве и принимающий значения в поле или по формуле где функции со значениями в том же поле, наз. коэффициентами А. Если коэффициенты принимают значения во множестве матриц… …   Математическая энциклопедия

  • Дискретный оператор Лапласа — О дискретном эквиваленте преобразования Лапласа см. Z преобразование. В математике дискретный оператор Лапласа  аналог непрерывного оператора Лапласа, определяемого как отношения на графе или дискретной сетке. В случае конечномерного графа… …   Википедия

  • ЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР — линейное преобразование, отображение между двумя векторными пространствами, согласованное с их линейными структурами. Точнее, отображение где Еи F векторные пространства над полем k, наз. л и н е й н ы м оператором из Ев F, если при всех… …   Математическая энциклопедия

  • НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР — линейный оператор в гильбертовом пространстве, спектральный анализ которого не укладывается в рамки теории самосопряженных операторов и ее простейших обобщений: теории унитарных операторов и теории нормальных операторов. Н. о. возникают при… …   Математическая энциклопедия

Книги



Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»