Теорема Штольца

Теорема Штольца

В математическом анализе теоремой Што́льца называется утверждение, в некоторых случаях помогающее найти предел последовательности вещественных чисел. Теорема названа в честь доказавшего её австрийского математика Отто Штольца.

Содержание

Формулировка

Пусть a_n и b_n — две последовательности вещественных чисел, причём b_n положительна, неограничена и строго возрастает (хотя бы начиная с некоторого члена). Тогда, если существует предел

\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n - a_{n-1}}{b_n - b_{n-1}},

то существует и предел

\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n},

причём эти пределы равны.

Доказательство

Допустим сначала, что предел равен конечному числу L, тогда для любого заданного \varepsilon > 0 существует такой номер N > 0, что при n > N будет иметь место

L - \frac{\varepsilon}{2} < \frac{a_n - a_{n-1}}{b_n - b_{n-1}} < L + \frac{\varepsilon}{2}.

Значит для любого n > N все дроби

\frac{a_{N+1} - a_N}{b_{N+1} - b_N}, \frac{a_{N+2} - a_{N+1}}{b_{N+2} - b_{N+1}},...,\frac{a_n - a_{n-1}}{b_n - b_{n-1}}

лежат между этими же границами. Так как знаменатели этих дробей положительны (в силу строго возрастания последовательности b_n), то между теми же границами содержится и дробь

\frac{a_n - a_N}{b_n - b_N},

числитель которой есть сумма числителей написанных выше дробей, а знаменатель — сумме всех знаменателей. Итак, при n > N

\left| \frac{a_n - a_N}{b_n - b_N} - L \right| < \frac{\varepsilon}{2}.

Теперь рассмотрим следующее тождество (проверяемое непосредственно):

\frac{a_n}{b_n} - L = \frac{a_N - L b_N}{b_n} + \left( 1 - \frac{b_N}{b_n} \right) \left( \frac{a_n - a_N}{b_n - b_N} - L \right),

откуда имеем

\left| \frac{a_n}{b_n} - L \right| \le \left| \frac{a_N - L b_N}{b_n} \right| + \left| \frac{a_n - a_N}{b_n - b_N} - L \right| .

Второе слагаемое при n > N становится меньше \frac{\varepsilon}{2}, первое слагаемое также станет меньше \frac{\varepsilon}{2}, при n > M, где M — некоторый достаточно большой номер, в силу того, что b_n \to +\infty. Если взять M > N, то при n > M будем иметь

\left | \frac{a_n}{b_n} - L \right | < \varepsilon,

что и доказывает наше утверждение.

Случай бесконечного предела можно свести к конечному. Пусть, для определённости

\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n - a_{n-1}}{b_n - b_{n-1}} = +\infty,

из этого следует, что при достаточно больших n

a_n - a_{n-1} > b_n - b_{n-1}

и

\lim\limits_{n \to \infty} a_n = +\infty,

причём последовательность a_n строго возрастает (начиная с определённого номера). В этом случае, доказанную часть теоремы можно применить к обратному отношению b_n \over a_n:

\lim\limits_{n \to \infty} \frac{b_n}{a_n} = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{b_n - b_{n-1}}{a_n - a_{n-1}} = 0,

откуда и следует, что

\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = + \infty.

Случай предел равен -\infty, то нужно рассмотреть последовательность \{ - a_n \}.

Следствие

Одним из следствий теоремы Штольца является регулярность метода суммирования Чезаро. Это означает, что если последовательность a_n сходится к числу a, то последовательность средних арифметических \frac{a_1 + \dots + a_n}{n} сходится к этому же числу.

Литература

  • Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Полезное


Смотреть что такое "Теорема Штольца" в других словарях:

  • Предел числовой последовательности — Предел числовой последовательности  предел последовательности элементов числового пространства. Числовое пространство  это метрическое пространство, расстояние в котором определяется как модуль разности между элементами. Поэтому, предел …   Википедия

  • Чезаровское среднее — В математике, чезаровские средние (средние по Чезаро) последовательности это средние арифметические первых членов : Понятие названо в честь итальянского математика Эрнесто Чезаро. Основной результат теории чезаровских средних (см. теорема… …   Википедия

  • Хан, Ханс — В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Хан. Ханс Хан нем. Hans Hahn Дата рождения: 27 сентября 1879(1879 09 27) Место рождения …   Википедия

  • Хан, Ганс — Ханс Хан, Ганс Хан (нем. Hans Hahn; 27 сентября 1879  24 июля 1934)  австрийский математик, внёсший вклад в развитие функционального анализа, топологии, теории множеств, вариационного исчисления, вещественного анализа, и теории порядка. Он… …   Википедия

  • Ханс Хан — Ханс Хан, Ганс Хан (нем. Hans Hahn; 27 сентября 1879  24 июля 1934)  австрийский математик, внёсший вклад в развитие функционального анализа, топологии, теории множеств, вариационного исчисления, вещественного анализа, и теории порядка. Он… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»