- Теорема Штольца
-
В математическом анализе теоремой Што́льца называется утверждение, в некоторых случаях помогающее найти предел последовательности вещественных чисел. Теорема названа в честь доказавшего её австрийского математика Отто Штольца.
Содержание
Формулировка
Пусть
и
— две последовательности вещественных чисел, причём
положительна, неограничена и строго возрастает (хотя бы начиная с некоторого члена). Тогда, если существует предел
,
то существует и предел
,
причём эти пределы равны.
Доказательство
Допустим сначала, что предел равен конечному числу
, тогда для любого заданного
существует такой номер
, что при
будет иметь место
Значит для любого
все дроби
лежат между этими же границами. Так как знаменатели этих дробей положительны (в силу строго возрастания последовательности
), то между теми же границами содержится и дробь
,
числитель которой есть сумма числителей написанных выше дробей, а знаменатель — сумме всех знаменателей. Итак, при
.
Теперь рассмотрим следующее тождество (проверяемое непосредственно):
,
откуда имеем
.
Второе слагаемое при
становится меньше
, первое слагаемое также станет меньше
, при
, где
— некоторый достаточно большой номер, в силу того, что
. Если взять
, то при
будем иметь
,
что и доказывает наше утверждение.
Случай бесконечного предела можно свести к конечному. Пусть, для определённости
,
из этого следует, что при достаточно больших
и
,
причём последовательность
строго возрастает (начиная с определённого номера). В этом случае, доказанную часть теоремы можно применить к обратному отношению
:
,
откуда и следует, что
.
Случай предел равен
, то нужно рассмотреть последовательность
.
Следствие
Одним из следствий теоремы Штольца является регулярность метода суммирования Чезаро. Это означает, что если последовательность
сходится к числу
, то последовательность средних арифметических
сходится к этому же числу.
Литература
- Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.
Категории:- Ряды и последовательности
- Теоремы
Wikimedia Foundation. 2010.