Замкнутое множество

Для термина «Замкнутость» см. другие значения.

За́мкнутое мно́жество — подмножество пространства дополнение к которому открыто.

Определение

Пусть дано топологическое пространство $(X,\mathcal{T})$. Множество $V \subset X$ называется замкнутым относительно топологии $\mathcal{T}$, если существует открытое множество $U \in \mathcal{T},$ такое что $V = X \setminus U$.

Замыкание

Замыканием множества $U$ топологического пространства $X$ называют минимальное по включению замкнутое множество $Z$ содержащее $U$.

Замыкание множества $U \subset X$ обычно обозначается $\bar U$, $\mathop{\rm Cl}U$ или $\mathrm{Cl}_X U$; последнее обозначение используется если надо подчеркнуть что $\bar U$ рассматривается как множество в пространстве $X$.

Свойства

• Множество $U$ замкнуто тогда и только тогда, когда $\bar U=U$.

Примеры

• Пустое множество $\emptyset$ всегда замкнуто (и, в то же время, открыто).
• Отрезок $[a,b] \subset \mathbb{R}$ замкнут в стандартной топологии на вещественной прямой, так как его дополнение открыто.
• Множество $\mathbb{Q} \cap [0,1]$ замкнуто в пространстве рациональных чисел $\mathbb{Q}$, но не замкнуто в пространстве всех вещественных чисел $\mathbb{R}$.

См. также

• Открытое множество
• Замыкание (геометрия)

Литература

1. А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин Элементы теории функций и функционального анализа. — Москва: «Наука», 1989.
2. С. Т. Завало Елементи аналізу. Алгебра многочленів. — Київ: Радянська школа, 1972.
3. Фихтенгольц Основы математического анализа. — Москва: Радянська школа, 1954.