Хи-квадрат распределение

Распределение хи-квадрат

Плотность вероятности k - число степеней свободы
Функция распределения k - число степеней свободы
Параметры	$n > 0\,$ число степеней свободы
Носитель	$x \in [0; +\infty)\,$
Плотность вероятности	$\frac{(1/2)^{n/2}}{\Gamma(n/2)} x^{n/2 - 1} e^{-x/2}\,$
Функция распределения	$\frac{\gamma(n/2,x/2)}{\Gamma(n/2)}\,$
Математическое ожидание	$n\,$
Медиана	примерно $n-2/3\,$
Мода	$n-2\,$ если $n\geq 2\,$
Дисперсия	$2\,n\,$
Коэффициент асимметрии	$\sqrt{8/n}\,$
Коэффициент эксцесса	$12/n\,$
Информационная энтропия	$\frac{n}{2}\!+\!\ln\left[2\Gamma\left({n \over 2}\right)\right]\!+\!\left(1\!-\!\frac{n}{2}\right)\psi\left(\frac{n}{2}\right)$ $\!\psi(x) = \Gamma'(x) / \Gamma(x).$
Производящая функция моментов	$(1-2\,t)^{-n/2}$, если $2\,t<1\,$
Характеристическая функция	$(1-2\,i\,t)^{-n/2}\,$

Распределение $\!\chi^2$ (хи-квадрат) с n степенями свободы — это распределение суммы квадратов n независимых стандартных нормальных случайных величин.

Определение

Пусть $X_1, \ldots, X_n$ — совместно независимые стандартные нормальные случайные величины, то есть: $X_i \sim N(0,1)$. Тогда случайная величина

$Y = X_1^2 + \cdots + X_n^2$

имеет распределение хи-квадрат с n степенями свободы, обозначаемое $\!\chi^2(n)$.

Замечание. Распределение хи-квадрат является частным случаем Гамма распределения:

$\chi^2(n) \equiv \Gamma\left({1 \over 2}, {n \over 2}\right)$.

Следовательно, плотность распределения хи-квадрат имеет вид

$f_{\chi^2(n)}(x) = \frac{(1/2)^{n \over 2}}{\Gamma\left({n \over 2}\right)}\, x^{{n \over 2} - 1}\, e^{-\frac{x}{2}}$,

а его функция распределения

$F_{\chi^2(n)}(x) = \frac{\gamma\left({n \over 2}, {x \over 2}\right)}{\Gamma\left({n \over 2}\right)}$,

где $\!\Gamma$ и $\!\gamma$ обозначают соответственно полную и неполную гамма-функции.

Свойства распределения хи-квадрат

• Распределение хи-квадрат устойчиво относительно суммирования. Если $\!Y_1, Y_2$ независимы, и $\!Y_1 \sim \chi^2(n_1)$, а $\!Y_2 \sim \chi^2(n_2)$, то

$Y_1 + Y_2 \sim \chi^2(n_1 + n_2)$.

• Из определения легко получить моменты распределения хи-квадрат. Если $Y \sim \chi^2(n)$, то

$\mathbb{E}[Y] = n$,

$\!\mathrm{D}[Y] = 2n$.

• В силу центральной предельной теоремы, при большом числе степеней свободы распределение случайной величины $Y \sim \chi^2(n)$ может быть приближено нормальным $Y \approx N( n, 2n )$. Более точно

$\frac{Y-n}{\sqrt{2n}} \to N(0,1)$ по распределению при $n \to \infty$.

Связь с другими распределениями

• Если $X_1 ,\ldots , X_n$ независимые нормальные случайные величины, то есть: $X_i \sim N(\mu,\sigma^2),\; i=1,\ldots, n$, то случайная величина

$Y = \sum_{i=1}^n \left(\frac{X_i - \mu}{\sigma}\right)^2$

имеет распределение хи-квадрат.

• Если $\!n=2$, то распределение хи-квадрат совпадает с экспоненциальным распределением:

$\chi^2(2) \equiv \mathrm{Exp}(2)$.

• Если $Y_1 \sim \chi^2(n_1)$ и $Y_2 \sim \chi^2(n_2)$, то случайная величина

$F = \frac{Y_1/n_1}{Y_2 / n_2}$

имеет распределение Фишера со степенями свободы $\!(n_1,n_2)$.

Процентили

Основная статья: Процентили распределения хи-квадрат

Вероятностные распределения Одномерные Многомерные Дискретные: Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | равномерное мультиномиальное Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Колмогорова | Коши | Лапласа | логнормальное | Лоренца | нормальное (Гаусса) | равномерное | Парето | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | Эрланга многомерное нормальное

править