Полином


Полином

В математике, многочлены или полиномы от одной переменной - функции вида

F(x) = c_0 + c_1 x + \cdots + c_n x^n,

где ci фиксированные коэффициенты, а x — переменная. Многочлены составляют один из важнейших классов элементарных функций.


Изучение полиномиальных уравнений и их решений составляло едва ли не главный объект «классической алгебры». С изучением многочленов связан целый ряд преобразований в математике: введение в рассмотрение нуля, отрицательных, а затем и комплексных чисел, а также появление теории групп как раздела математики и выделение классов специальных функций в анализе.

Техническая простота вычислений, связанных с многочленами, по сравнению с более сложными классами функций, а также тот факт, что множество многочленов плотно в пространстве непрерывных функций на компактных подмножествах евклидова пространства (смотри аппроксимационная теорема Вейерштрасса), способствовали развитию методов разложения в ряды и полиномиальной интерполяции в математическом анализе.

Многочлены также играют ключевую роль в алгебраической геометрии, объектом которой являются множества, определённые как решения систем многочленов. Особые свойства преобразования коэффициентов при умножении многочленов используются в алгебраической геометрии, алгебре, теории узлов и других разделах математики для кодирования, или выражения многочленами свойств различных объектов.

Содержание

Определение

Многочлен (или полином) от n переменных — есть конечная формальная сумма вида

\sum c_I x_1^{i_1}x_2^{i_2}...x_n^{i_n},

где I = (i1,i2,...,in) есть набор из целых неотрицательных чисел (называется мультииндекс), cI — число (называемое «коэффициент многочлена»), зависящее только от мультииндекса I.

В частности, многочлен от одной переменной есть конечная формальная сумма вида

c_0+c_1x^1+\cdots+c_nx^n

Коэффициенты многочлена обычно берутся из определённого коммутативного кольца R (чаще всего поля, например, поля вещественных или комплексных чисел). В этом случае, относительно операций сложения и умножения многочлены образуют кольцо (более того ассоциативно-коммутативную алгебру над кольцом R без делителей нуля) которое обозначается

R[x1,x2,...,xn].

Связанные определения

  • Многочлен вида c x_1^{i_1}x_2^{i_2}...x_n^{i_n} называется одночленом или мономом
    • Одночлен, соответствующий мультииндексу I=(0,\dots,\,0) называется свободным членом.
    • В случае, когда многочлен имеет всего два ненулевых члена, его называют двучленом или биномом,
    • В случае, когда многочлен имеет всего три ненулевых члена, его называют трёхчленом.
  • Полной степенью (ненулевого) одночлена c_I x_1^{i_1}x_2^{i_2}...x_n^{i_n} называется целое число | I | = i1 + i2 + ... + in.
    • Степенью многочлена называется максимальная из степеней его одночленов, тождественный нуль не имеет степени
  • Множество мультииндексов I для которых коэффициенты cI ненулевые называется носителем многочлена, а его выпуклая оболочка многогранником Ньютона.

Делимость

Многочлен, который можно представить в виде произведения многочленов низших степеней с коэффициентами из данного поля, называется приводимым (над данным полем), в противном случае — неприводимым. Неприводимые многочлены играют в кольце многочленов роль, сходную с ролью простых чисел в кольце целых чисел. Например, верна теорема: если произведение pq делится на неприводимый многочлен λ, то p или q делится на λ. Каждый многочлен, степени большей нуля, разлагается в данном поле в произведение неприводимых множителей единственным образом (с точностью до множителей нулевой степени).

Например, многочлен x4 + 2, неприводимый в поле рациональных чисел, разлагается на два множителя в поле вещественных чисел и на четыре множителя в поле комплексных чисел.

Вообще, каждый многочлен от одного переменного x разлагается в поле вещественных чисел на множители первой и второй степени, в поле комплексных чисел — на множители первой степени (основная теорема алгебры).

Для двух и большего числа переменных этого уже нельзя утверждать. Над любым полем для любого n > 2 существуют многочлен от n переменных, неприводимые в любом расширении этого поля. Такие многочлены называются абсолютно неприводимыми.

Полиномиальные функции

Пусть A есть алгебра над кольцом R. Произвольный многочлен p(x)\in R[x_1,x_2,\dots,x_n] определяет полиномиальную функцию

p_R:A\to A.

Чаще всего рассматривают случай A = R.

В случае если R есть поле вещественных или комплексных чисел (а также любое другое поле с бесконечным числом элементов) то функция f_p:R^n\to R полностью определяет многочлен p. Однако в общем случае это неверно, например: многочлены p_1(x)\equiv x и p_2(x)\equiv x^2 из \Z_2[x] определяют тождественно равные функции \Z_2\to\Z_2.

Свойства

Вариации и обобщения

  • Если в определении допустить также отрицательные степени, то полученный объект называется многочленом Лорана (см. ряд Лорана).
  • Квазимногочлен
  • Тригонометрический многочлен

См. также

Ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Синонимы:

Смотреть что такое "Полином" в других словарях:

  • полином — полином …   Орфографический словарь-справочник

  • ПОЛИНОМ — (греч., от polys многий, и nomos часть, член). Численная величина, состоящая из нескольких членов, соединенных между собою знаками: плюс или минус. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ПОЛИНОМ греч., от… …   Словарь иностранных слов русского языка

  • полином — многочлен Алгебраическое выражение вида Anx**n + An 1x**(n 1) +…+ A1x**1 + a0, где a, n константы (n индекс), x переменная; то есть полином сумма констант, умноженных на переменную в различных степенях. Полином может интерпретироваться как …   Справочник технического переводчика

  • ПОЛИНОМ — ПОЛИНОМ, полиномическая величина, мат. состоящая из многих членов, величин, отделенных знаками + или , многочлен, ·противоп. бином, двучлен. Толковый словарь Даля. В.И. Даль. 1863 1866 …   Толковый словарь Даля

  • полином — многочлен. Ant. одночлен Словарь русских синонимов. полином сущ., кол во синонимов: 1 • многочлен (5) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин …   Словарь синонимов

  • ПОЛИНОМ — (от поли... и лат. nomen имя) то же, что многочлен …   Большой Энциклопедический словарь

  • ПОЛИНОМ — ПОЛИНОМ, полинома, муж. (от греч. poly много и nomos часть) (мат.). То же, что многочлен. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 …   Толковый словарь Ушакова

  • полином — а, м. polynôme m. спец. Многочлен. Алгебраическое выражение, состоящее из нескольких одночленов, соединенных между собою знаками сложения или вычитания. СИС 1954. В 1853 г. в мемуаре Теория механизмов, известных под именем параллелограммов он… …   Исторический словарь галлицизмов русского языка

  • полином — а; м. [от греч. polys многочисленный и лат. nomos отдел, член] Матем. Алгебраическое выражение, представляющее сумму или разность нескольких одночленов; многочлен. * * * полином (от поли... и лат. nomen  имя), то же, что многочлен. * * * ПОЛИНОМ… …   Энциклопедический словарь

  • полином — daugianaris statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. polynomial vok. Polynom, n rus. многочлен, m; полином, m pranc. polynôme, m ryšiai: sinonimas – polinomas …   Automatikos terminų žodynas

Книги

Другие книги по запросу «Полином» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.