Цепь Маркова

Пример цепи с двумя состояниями

Це́пь Ма́ркова — последовательность случайных событий с конечным или счётным числом исходов, характеризующаяся тем свойством, что, говоря нестрого, при фиксированном настоящем будущее независимо от прошлого. Названа в честь А. А. Маркова (старшего).

Цепь Маркова с дискретным временем

Определение

Последовательность дискретных случайных величин $\{X_n\}_{n \geqslant 0}$ называется простой цепью Маркова (с дискретным временем), если

$\mathbb{P}(X_{n+1} = i_{n+1} \mid X_n = i_n, X_{n-1} = i_{n-1},\ldots, X_0 = i_0) = \mathbb{P}(X_{n+1} = i_{n+1} \mid X_n = i_n)$.

Таким образом, в простейшем случае условное распределение последующего состояния цепи Маркова зависит только от текущего состояния и не зависит от всех предыдущих состояний (в отличие от цепей Маркова высших порядков).

Область значений случайных величин $~\{X_n\}$ называется простра́нством состоя́ний цепи, а номер $~n$ — номером шага.

Переходная матрица и однородные цепи

Матрица $P{(n)}$, где

$P_{ij}{(n)} \equiv \mathbb{P}(X_{n+1} = j \mid X_n = i)$

называется ма́трицей перехо́дных вероя́тностей на $n$-м шаге, а вектор $\mathbf{p} = (p_1,p_2,\ldots)^{\top}$, где

$p_i \equiv \mathbb{P}(X_0 = i)$

— нача́льным распределе́нием цепи Маркова.

Очевидно, матрица переходных вероятностей является стохастической, то есть

$\sum\limits_{j} P_{ij}(n) = 1, \quad \forall n \in \mathbb{N}$.

Цепь Маркова называется одноро́дной, если матрица переходных вероятностей не зависит от номера шага, то есть

$P_{ij}{(n)} = P_{ij},\quad \forall n \in \mathbb{N}$.

В противном случае цепь Маркова называется неоднородной. В дальнейшем будем предполагать, что имеем дело с однородными цепями Маркова.

Конечномерные распределения и матрица перехода за n шагов

Из свойств условной вероятности и определения однородной цепи Маркова получаем:

$\mathbb{P}(X_{n} = i_{n} , \ldots, X_0 = i_0) = P_{i_{n-1},i_n} \cdots P_{i_0,i_1} P_{i_0}$,

откуда вытекает специальный случай уравнения Колмогорова — Чепмена:

$\mathbb{P}(X_n = i_n \mid X_0 = i_0) = (P^n)_{i_0,i_n}$,

то есть матрица переходных вероятностей за $n$ шагов однородной цепи Маркова есть $n$-я степень матрицы переходных вероятностей за 1 шаг. Наконец,

$\mathbb{P}(X_n = i_n) = \left((P^T)^n \mathbf{p}\right)_{i_n}$.

Классификация состояний цепи Маркова

• Возвратное состояние;
• Возвратная цепь Маркова;
• Достижимое состояние;
• Неразложимая цепь Маркова;
• Периодическое состояние;
• Периодическая цепь Маркова;
• Поглощающее состояние;
• Эргодическое состояние.

Примеры

• Ветвящийся процесс;
• Случайное блуждание;

Цепь Маркова с непрерывным временем

Определение

Семейство дискретных случайных величин $\{X_t\}_{t \geqslant 0}$ называется цепью Маркова (с непрерывным временем), если

$\mathbb{P}(X_{t+h} = x_{t+h} \mid X_s = x_s,\; 0 < s \leqslant t ) = \mathbb{P}(X_{t+h} = x_{t+h} \mid X_t = x_t)$.

Цепь Маркова с непрерывным временем называется однородной, если

$\mathbb{P}(X_{t+h} = x_{t+h} \mid X_t = x_t) = \mathbb{P}(X_{h} = x_{h} \mid X_0 = x_0)$.

Матрица переходных функций и уравнение Колмогорова — Чепмена

Аналогично случаю дискретного времени, конечномерные распределения однородной цепи Маркова с непрерывным временем полностью определены начальным распределением

$\mathbf{p} = (p_1,p_2,\ldots)^{\top},\; p_i = \mathbb{P}(X_0 = i),\quad i=1,2,\ldots$

и ма́трицей перехо́дных фу́нкций (переходных вероятностей)

$\mathbf{P}(h)=(P_{ij}(h)) = \mathbb{P}(X_h = j \mid X_0 = i)$.

Матрица переходных вероятностей удовлетворяет уравнению Колмогорова — Чепмена: $\mathbf{P}(t+s)=\mathbf{P}(t)\mathbf{P}(s)$ или

$P_{ij}(t+s)=\sum_k P_{ik}(t)P_{kj}(s).$

Матрица интенсивностей и дифференциальные уравнения Колмогорова

По определению, матрица интенсивностей $\mathbf{Q}=\lim_{h \to 0}\frac{\mathbf{P}(h)-\mathbf{I}}{h}$ или, что эквивалентно,

$\mathbf{Q}=(q_{ij})=\left(\frac{dP_{ij}(h)}{dh}\right)_{h=0}$.

Из уравнения Колмогорова — Чепмена следуют два уравнения:

• Прямое уравнение Колмогорова

  $\frac{d \mathbf{P}(t)}{d t}=\mathbf{P}(t)\mathbf{Q},$

• Обратное уравнение Колмогорова

  $\frac{d \mathbf{P}(t)}{d t}=\mathbf{Q}\mathbf{P}(t).$

Для обоих уравнений начальным условием выбирается $\mathbf{P}(0)=\mathbf{I}$. Соответствующее решение $\mathbf{P}(t)=\exp(\mathbf{Q}t).$

Свойства матриц P и Q

Для любого $t>0$ матрица $\mathbf{P}(t)$ обладает следующими свойствами:

1. Матричные элементы $\mathbf{P}(t)$ неотрицательны: $P_{ij}(t) \geqslant 0$ (неотрицательность вероятностей).

2. Сумма элементов в каждой строке $\mathbf{P}(t)$ равна 1: $\sum_j P_{ij}(t) = 1$ (полная вероятность), то есть матрица $\mathbf{P}(t)$ является стохастической справа (или по строкам).

3. Все собственные числа $\lambda$ матрицы $\mathbf{P}(t)$ не превосходят 1 по абсолютной величине: $|\lambda| \leqslant 1$. Если $|\lambda| = 1$, то $\lambda = 1$.

4. Собственному числу $\lambda=1$ матрицы $\mathbf{P}(t)$ соответствует, как минимум, один неотрицательный левый собственный вектор-строка (равновесие): $(p_1^*,\, p_2^*, ...);$ $p_i^* \geqslant 0;$ $\sum_i p_i^*=1;$ $\sum_i p_i^* P_{ij}(t) = p_j^*$.

5. Для собственного числа $\lambda=1$ матрицы $\mathbf{P}(t)$ все корневые векторы являются собственными, то есть соответствующие жордановы клетки тривиальны.

Матрица $\mathbf{Q}$ обладает следующими свойствами:

1. Внедиагональные матричные элементы $\mathbf{Q}$ неотрицательны: $q_{ij} \geqslant 0 \; i\neq j$.

2. Диагональные матричные элементы $\mathbf{Q}$ неположительны: $q_{ii} \leqslant 0$.

3. Сумма элементов в каждой строке $\mathbf{Q}$ равна 0: $\sum_j q_{ij}=0 .$

4. Действительная часть всех собственных чисел $\mu$ матрицы $\mathbf{Q}$ неположительна: $Re(\mu) \leqslant 0$. Если $Re(\mu) = 0$, то $\mu = 0 .$

5. Собственному числу $\mu=0$ матрицы $\mathbf{Q}$ соответствует, как минимум, один неотрицательный левый собственный вектор-строка (равновесие): $(p_1^*,\, p_2^*, ...);$ $p_i^* \geqslant 0;$ $\sum_i p_i^*=1;$ $\sum_i p_i^* q_{ij}= 0 .$

6. Для собственного числа $\mu=0$ матрицы $\mathbf{Q}$ все корневые векторы являются собственными, то есть соответствующие жордановы клетки тривиальны.

Граф переходов, связность и эргодические цепи Маркова

Для цепи Маркова с непрерывным временем строится ориентированный граф переходов (кратко — граф переходов) по следующим правилам:

• Множество вершин графа совпадает со множеством состояний цепи.
• Вершины $i,j \, (i\neq j)$ соединяются ориентированным ребром $i \to j$, если $q_{ij}>0$ (то есть интенсивность потока из $i$-го состояния в $j$-е положительна.

Топологические свойства графа переходов связаны со спектральными свойствами матрицы $\mathbf{Q}$. В частности, для конечных цепей Маркова верны следующие теоремы:

• Следующие три свойства А, Б, В конечной цепи Маркова эквивалентны (обладающие ими цепи иногда называют слабо эргодическими):

А. Для любых двух различных вершин графа переходов $i,j \, (i\neq j)$ найдется такая вершина $k$ графа («общий сток»), что существуют ориентированные пути от вершины $i$ к вершине $k$ и от вершины $j$ к вершине $k$. Замечание: возможен случай $k=i$ или $k=j$; в этом случае тривиальный (пустой) путь от $i$ к $i$ или от $j$ к $j$ также считается ориентированным путем.

Б. Нулевое собственное число матрицы $\mathbf{Q}$ невырождено.

В. При $t \to \infty$ матрица $\mathbf{P}(t)$ стремится к матрице, у которой все строки совпадают (и совпадают, очевидно, с равновесным распределением).

• Следующие пять свойств А, Б, В, Г, Д конечной цепи Маркова эквивалентны (обладающие ими цепи называют эргодическими):

А. Граф переходов цепи ориентированно связен.

Б. Нулевое собственное число матрицы $\mathbf{Q}$ невырождено и ему соответствует строго положительный левый собственный вектор (равновесное распределение).

В. Для некоторого $t>0$ матрица $\mathbf{P}(t)$ строго положительна (то есть $P_{ij}(t) > 0$ для всех $i, j$).

Г. Для всех $t>0$ матрица $\mathbf{P}(t)$ строго положительна.

Д. При $t \to \infty$ матрица $\mathbf{P}(t)$ стремится к строго положительной матрице, у которой все строки совпадают (и совпадают, очевидно, с равновесным распределением).

Примеры

Рис. Примеры графов переходов для цепей Маркова: a) цепь не является слабо эргодической (не существует общего стока для состояний $A_2, \, A_3$); b) слабо эргодическая, но не эргодическая цепь (граф переходов не является ориентированно связным) c) эргодическая цепь (граф переходов ориентированно связен).

Рассмотрим цепи Маркова с тремя состояниями и с непрерывным временем, соответствующие графам переходов, представленным на рис. В случае (a) отличны от нуля только следующие недиагональные элементы матрицы интенсивностей — $q_{12}, \, q_{13}$, в случае (b) отличны от нуля только $q_{12}, \, q_{31} \, q_{32}$, а в случае (c) — $q_{12}, \, q_{31} \, q_{23}$. Остальные элементы определяются свойствами матрицы $\mathbf{Q}$ (сумма элементов в каждой строке равна 0). В результате для графов (a), (b), (c) матрицы интенсивностей имеют вид: $\mathbf{Q}_a=\begin{pmatrix} -(q_{12}+q_{13})& q_{12} & q_{13}\\ 0& 0 & 0 \\ 0& 0 & 0 \end{pmatrix},$ $\mathbf{Q}_b=\begin{pmatrix} -q_{12}& q_{12} & 0 \\ 0& 0 & 0 \\ q_{31}& q_{32} & -(q_{31}+q_{32}) \end{pmatrix},$ $\mathbf{Q}_c=\begin{pmatrix} -q_{12}& q_{12} & 0 \\ 0& -q_{23} & q_{23} \\ q_{31}& 0& -q_{31} \end{pmatrix},$

Основное кинетическое уравнение

Основная статья: Основное кинетическое уравнение

Основное кинетическое уравнение описывает эволюцию распределения вероятностей в цепи Маркова с непрерывным временем. «Основное уравнение» здесь — не эпитет, а перевод термина англ. Master equation. Для вектора-строки распределения вероятностей $\pi$ основное кинетическое уравнение имеет вид:

$\frac{d \pi}{d t} = \pi \mathbf{Q}$

и совпадает, по существу, с прямым уравнением Колмогорова. В физической литературе чаще используют векторы-столбцы вероятностей и записывают основное кинетическое уравнение в виде, который явно использует закон сохранения полной вероятности:

$\frac{d p_i}{d t} = \sum_{j, \, j \neq i} (T_{ij}p_j - T_{ji}p_i),$

где $T_{ij}=q_{ji}.$

Если для основного кинетического уравнения существует положительное равновесие $p_i^* > 0$, то его можно записать в форме

$\frac{d p_i}{d t} = \sum_{j, \, j \neq i} T_{ij}p_j^*\left(\frac{p_j}{p_j^*} - \frac{p_i}{p_i^*}\right).$

Функции Ляпунова для основного кинетического уравнения

Для основного кинетического уравнения существует богатое семейство выпуклых функций Ляпунова — монотонно меняющихся со временем функций распределения вероятностей. Пусть $h(x) \, (x>0)$ — выпуклая функция одного переменного. Для любого положительного распределения вероятностей ($p_i > 0$) определим функцию Моримото $H_h(p)$:

$H_h(p)=\sum_i p_i^* h\left(\frac{p_i}{p_i^*}\right)$.

Производная $H_h(p)$ по времени, если $p(t)$ удовлетворяет основному кинетическому уравнению, есть

$\frac{d H_h(p(t))}{dt }=\sum_{i,j \, i \neq j} T_{ij}p_j^* \left[h\left(\frac{p_i}{p_i^*}\right)- h\left(\frac{p_j}{p_j^*}\right) + h'\left(\frac{p_i}{p_i^*}\right)\left(\frac{p_j}{p_j^*}-\frac{p_i}{p_i^*}\right)\right] \leqslant 0$.

Последнее неравенство справедливо из-за выпуклости $h(x)$.

Примеры функций Моримото $H_h(p)$

• $h(x)= |x-1|$, $H_h(p)=\sum_i |p_i-p_i^*|$;

эта функция — расстояние от текущего распределения вероятностей до равновесного в $l_1$-норме. Сдвиг по времени является сжатием пространства вероятностных распределений в этой норме. (О свойствах сжатий см. статью Теорема Банаха о неподвижной точке.)

• $h(x)= x \ln x$, $H_h(p)=\sum_i p_i \ln\left(\frac{p_i}{p_i^*}\right)$;

эта функция — (минус) энтропия Кульбака (см. Расстояние Кульбака — Лейблера). В физике она соответствует свободной энергии, деленной на $kT$ (где $k$ — постоянная Больцмана, $T$ — абсолютная температура):

если $p_i^*=\exp(\mu_0-U_i/kT)$ (распределение Больцмана), то

$H_h(p)=\sum_i p_i \ln p_i + \sum_i p_i U_i/kT -\mu_0 = (\langle U \rangle - TS)/kT$.

• $h(x)= -\ln x$, $H_h(p)=-\sum_i p_i^* \ln\left(\frac{p_i}{p_i^*}\right)$;

эта функция — аналог свободной энергии для энтропии Бурга, широко используемой в обработке сигналов:

$S_{\rm Burg}=\sum_i \ln p_i$

• $h(x)= \frac{(x-1)^2}{2}$, $H_h(p)=\sum_i \frac{(p_i-p_i^*)^2}{2p_i^*}$;

это квадратичное приближение для (минус) энтропии Кульбака вблизи точки равновесия. С точностью до постоянного во времени слагаемого эта функция совпадает с (минус) энтропией Фишера, которую даёт следующий выбор,

• $h(x)= \frac{x^2}{2}$, $H_h(p)=\sum_i \frac{p_i^2}{2p_i^*}$;

это (минус) энтропия Фишера.

• $h(x)= \frac{x^q - 1}{q-1}, \, q>0, \, q\neq 1$, $H_h(p)=\frac{1}{q-1}\left[\sum_i p_i^* \left(\frac{p_i}{p_i^*}\right)^q - 1\right]$;

это один из аналогов свободной энергии для энтропии Тсаллиса. Энтропия Тсаллиса (Tsallis entropy)

$S_{q {\rm Tsallis}}(p) = {1 \over q - 1} \left( 1 - \sum_i p^q_i \right).$

служит основой для статистической физики неэкстенсивных величин. При $q \to 1$ она стремится к классической энтропии Больцмана — Гиббса — Шеннона, а соответствующая функция Моримото — к (минус) энтропии Кульбака.

Литература

• Кельберт М. Я., Сухов Ю. М. Вероятность и статистика в примерах и задачах. Т. ІІ: Марковские цепи как отправная точка теории случайных процессов и их приложения. М.: МЦНМО, 2009. — 295 с.: ил.
• Марков А. А., Распространение закона больших чисел на величины, зависящие друг от друга. — Известия физико-математического общества при Казанском университете. — 2-я серия. — Том 15. (1906) — С. 135—156.
• Kemeny J. G., Snell J. L., Finite Markov chains. — The University Series in Undergraduate Mathematics. — Princeton: Van Nostrand, 1960 (перевод: Кемени Дж. Дж., Снелл Дж. Л. Конечные цепи Маркова. — М.: Наука. 1970. — 272 с.)
• Чжун Кай-лай, Однородные цепи Маркова. Перев. с англ. — М.: Мир, 1964. — 425 с.
• Нуммелин Э., Общие неприводимые цепи Маркова и неотрицательные операторы. — М.: Мир, 1989. — 207 с.
• Morimoto T., Markov processes and the H-theorem. — J. Phys. Soc. Jap. 12 (1963), 328—331.
• Яглом А. М., Яглом И. М., Вероятность и информация. — М., Наука, 1973. — 512 с.
• Kullback S., Information theory and statistics. — Wiley, New York, 1959.
• Burg J.P., The Relationship Between Maximum Entropy Spectra and Maximum Likelihood Spectra, Geophysics 37(2) (1972), 375—376.
• Tsallis C., Possible generalization of Boltzmann-Gibbs statistics. J. Stat. Phys. 52 (1988), 479—487.
• Рудой Ю. Г., Обобщенная информационная энтропия и неканоническое распределение в равновесной статистической механике, ТМФ, 135:1 (2003), 3-54.
• Gorban, Alexander N.; Gorban, Pavel A.; Judge, George. . Entropy: The Markov Ordering Approach. Entropy 12, no. 5 (2010), 1145-1193.