Условная вероятность

Условная вероятность — вероятность одного события при условии, что другое событие уже произошло.

Определение

Пусть $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ — фиксированное вероятностное пространство. Пусть $A,B\in \mathcal{F}$ суть два случайных события, причём $\mathbb{P}(B)>0$. Тогда условной вероятностью события $A$ при условии события $B$ называется

$\mathbb{P}(A \mid B) = \frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)}$.

Замечания

• Прямо из определения очевидно следует, что вероятность произведения двух событий равна:

$\mathbb{P}(A\cap B) = \mathbb{P}(A \mid B) \mathbb{P}(B)$.

• Если $\mathbb{P}(B) = 0$, то изложенное определение условной вероятности неприменимо.
• Условная вероятность является вероятностью, то есть функция $\mathbb{Q}_{ B}:\mathcal{F}\to \mathbb{R},\, B \in \mathcal{F}$, заданная формулой

$\mathbb{Q}_{ B}(A) = \mathbb{P}(A \mid B ),\; \forall A \in \mathcal{F}$,

удовлетворяет всем аксиомам вероятностной меры.

Пример

Если $A,B$ — несовместимые события, то есть $A \cap B = \varnothing$ и $\mathbb{P}(A)>0,\; \mathbb{P}(B)>0$, то

$\mathbb{P}(A \mid B) = 0$

и

$\mathbb{P}(B \mid A) = 0$.

См. также

• Вероятность
• Независимость
• Условное математическое ожидание
• Формула полной вероятности
• Теорема Байеса
• Парадокс Монти Холла
• Задача о двух конвертах