Основное кинетическое уравнение

Основное кинетическое уравнение — феноменологическое уравнение, описывающее эволюцию системы во времени. Установлено В. Паули в 1928 году. Название «основное уравнение» — перевод термина англ. Master equation. Называется также производящее или управляющее уравнение.

Для процесса, не зависящего от прошлого системы, (марковский процесс) основное кинетическое уравнение имеет вид:

$\frac{dP_n}{dt}=\sum_{m\neq n} \left(w_{nm}\cdot P_m-w_{mn}\cdot P_n\right)$.

где

• $P_m=\rho_{mm}$ и $P_n=\rho_{nn}$ — вероятности того, что система находится в состояниях $m$ и $n$, соответствующие диагональным элементам матрицы плотности $\rho$;
• $w_{mn}=\mathrm{prob}(n\rarr m)$ — вероятность прямого перехода системы из состояния $n$ в состояние $m$;
• $w_{nm}=\mathrm{prob}(m\rarr n)$ — вероятность обратного перехода системы из состояния $m$ в состояние $n$.

В общем случае, при наличии в системе эффекта памяти, её прошлое состояние оказывает влияние на будущее (немарковский процесс). В этом случае основное кинетическое уравнение имеет вид:

$\frac{dP_n(t)}{dt}=\int\limits_{-\infty}^t\sum_m \left(w_{nm}(t-\tau)\cdot P_m(\tau)-w_{mn}(t-\tau)\cdot P_n(\tau)\right)\,d\tau$,

где

• $w_{mn}(t-\tau)$ — функция памяти системы.

Для системы с непрерывно распределённой случайной переменной $x$, основное кинетическое уравнение определяет плотность вероятности $W(x,t)$:

$\frac{\partial W(x,t)}{\partial t}=\int \left(w(x,x^\prime)\cdot W(x^\prime,t)-w(x^\prime,x)\cdot W(x,t)\right)\,dx^\prime$

где

• $w(x,x^\prime)$ — плотность вероятности перехода $x^\prime\rarr x$.

Примеры основных уравнений:

• уравнение Линдблада
• уравнение Фоккера — Планка
• уравнение Больцмана

Литература

• Кинетическое уравнение основное — статья из Физической энциклопедии