Существенное состояние

Суще́ственное состоя́ние — это такое состояние цепи Маркова, покинув которое, она всегда может в него вернуться.

Определение

Пусть дана однородная цепь Маркова с дискретным временем $\{X_n\}_{n \geq 0}$ и дискретным пространством состояний $\{1,2,\ldots \}$. Тогда состояние $i$ называется несуще́ственным, если существует состояние $j$ и $n_{ij} \in \mathbb{N}$, такие что

$p_{ij}^{(n_{ij})} > 0$, но $p_{ji}^{(n)} = 0,\quad \forall n \in \mathbb{N}$.

В противном случае состояние $i$ называется суще́ственным.

Замечание

Несущественные состояния не играют роли при изучении долговременного поведения цепи Маркова, а потому их чаще всего игнорируют.

Пример

Пусть пространство состояний цепи Маркова конечно: $\{1,2,3,4\}$, а матрица переходных вероятностей имеет вид:

$P = \left( \begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0.6 & 0.4 \\ 0 & 0 & 0.5 & 0.5 \\ 0 & 0 & 0.1 & 0.9 \end{matrix} \right)$.

Тогда состояния $1$ и $2$ несущественны, а $3$ и $4$ — существенны.

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Проставить интервики в рамках проекта Интервики.