- Теорема Банаха о неподвижной точке
-
Теорема Банаха о неподвижной точке — утверждение в метрической геометрии, гарантирующее наличие и единственность неподвижной точки у определённого класса отображений метрических пространств, также содержит конструктивный метод нахождения этой точки. Теорема названа в честь Стефана Банаха, польского математика, установившего это утверждение в 1922 году.
Теорема
Пусть
— непустое полное метрическое пространство. Пусть
— сжимающее отображение на
, то есть существует число
такое, что
для всех
из
. Тогда у отображения
существует, и притом ровно одна неподвижная точка
из
(неподвижная означает
).
Число
часто называют коэффициентом сжатия.
Если число
равно 1, то есть отображение не сжимающее, теорема может не выполняться.
Доказательство
Возьмём произвольный
и рассмотрим последовательность
. Получим
. Покажем, что эта последовательность фундаментальная. В самом деле:
.
Таким образом, по неравенству треугольника для
.
Но
при
, значит для
.
Таким образом, для
.
Значит
фундаментальна. Но так как
полно, то
. Тогда берём
и переходим к пределу, так как сжимающий оператор — непрерывная функция. Существование доказано.
Докажем единственность. Предположим обратное, то есть пусть
(так как
и
— неподвижные точки)
. Таким образом, доказана и единственность
Применение
Теорема Банаха используется в теории дифференциальных уравнений для доказательства существования и единственности решения некоторых классов уравнений. Широкое применение теорема находит в численных методах, таких как метод Якоби, метод Гаусса — Зейделя, метод Ньютона также можно рассматривать с позиции теоремы Банаха. Также теорема нашла применение в теории фракталов.
Для улучшения этой статьи по математике желательно?: - Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.
- Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии.
Категории:- Функциональный анализ
- Метрическая геометрия
Wikimedia Foundation. 2010.