Жорданова матрица

Жорданова матрица

Жорданова матрица (нормальная жорданова форма) — одно из фундаментальных понятий линейной алгебры, имеющее большое число приложений в различных разделах математики и физики.

Жордановой матрицей называется квадратная блочно-диагональная матрица над полем \Bbb K, с блоками вида

J_\lambda=\begin{pmatrix}
\lambda & 1       & 0             & \cdots & 0       & 0      \\
0           & \lambda & 1             & \cdots & 0       & 0      \\
0           & 0       & \lambda       & \ddots & 0       & 0      \\
\vdots   & \vdots  & \ddots     & \ddots & \ddots  & \vdots \\
0           & 0       & 0             & \ddots & \lambda & 1      \\
0           & 0       & 0             & \cdots & 0       & \lambda \\\end{pmatrix},

при этом каждый блок J_\lambda называется жордановой клеткой с собственным значением \lambda (собственные значения в различных блоках, вообще говоря, могут совпадать).

Для произвольной квадратной матрицы A над алгебраически замкнутым полем \Bbb K (например, полем комплексных чисел \Bbb K = \Bbb C) всегда существует квадратная невырожденная (т.е. обратимая, с отличным от нуля определителем) матрица C над \Bbb K, такая, что

J=C^{-1}A\,C

является жордановой матрицей. При этом матрица J называется жордановой формой (или жордановой нормальной формой) данной матрицы A. В этом случае также говорят, что жорданова матрица J в поле \Bbb K подобна (или сопряжена) данной матрице A. И наоборот, в силу эквивалентного соотношения

A=CJC^{-1}

матрица A подобна в поле \Bbb K матрице J. Нетрудно показать, что введённое таким образом отношения подобия является отношением эквивалентности и разбивает множество всех квадратных матриц заданного порядка над данным полем на непересекающиеся классы эквивалентности.

Жорданова форма матрицы определена не однозначно, а с точностью до порядка жордановых клеток. Точнее, две жордановы матрицы подобны над \Bbb K в том и только в том случае, когда они составлены из одних и тех же жордановых клеток и отличаются друг от друга лишь расположением этих клеток на главной диагонали.

Содержание

Вариации и обобщения

Помимо жордановой нормальной формы, рассматривают ряд других типов нормальных форм матрицы. К их рассмотрению прибегают, например, когда основное поле не содержит всех корней характеристического многочлена данной матрицы.

Над полем вещественных чисел (\Bbb K = \Bbb R) собственные значения матрицы (т.е. корни характеристического многочлена) могут быть как вещественными, так и комплексными, причем комплексные собственные значения, если они есть, присутствуют парами вместе со своими комплексно сопряжёнными: \lambda_{1,2} = \alpha \pm i \beta, где \alpha и \beta — вещественные числа, \beta \neq 0. В вещественном пространстве такой паре комплексных собственных значений отвечает блок J_{\lambda_{1,2}}= \left( \begin{array}{ccccccccccc}
\alpha      & \beta   & 1          & 0             & 0            & 0           & \cdots        & 0       & 0       & 0       & 0\\
-\beta      & \alpha  & 0          & 1             & 0            & 0           & \cdots        & 0       & 0       & 0       & 0\\
0           & 0       & \alpha     & \beta         & 1            & 0           & \cdots        & 0       & 0       & 0       & 0\\
0           & 0       & -\beta     & \alpha        & 0            & 1           & \ddots        & 0       & 0       & 0       & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0           & 0       & 0          & 0             & 0            & 0           & \cdots        & \alpha  & \beta   & 1       & 0\\
0           & 0       & 0          & 0             & 0            & 0           & \cdots        & -\beta  & \alpha  & 0       & 1\\
0           & 0       & 0          & 0             & 0            & 0           & \cdots        & 0 & 0       & \alpha  & \beta\\
0           & 0       & 0          & 0             & 0            & 0           & \cdots        & 0 & 0       & -\beta  & \alpha\\
\end{array}\right).

Соответственно, в вещественном пространстве к указанному выше виду жордановых матриц добавляются матрицы, содержащие также блоки вида J_{\lambda_{1,2}}, отвечающие парам комплексных собственных значений.[1][2]

Свойства

  • Количество жордановых клеток порядка n с собственным значением \lambda в жордановой форме матрицы A можно вычислить по формуле
    c_n(\lambda)=
\operatorname{rank}(A-\lambda I)^{n-1}
-2\operatorname{rank}(A-\lambda I)^{n}
+\operatorname{rank}(A-\lambda I)^{n+1}
где Iединичная матрица того же порядка что и A, символ \operatorname{rank} обозначает ранг матрицы, а \operatorname{rank} (A-\lambda I)^0, по определению, равен порядку A.
  • Вышеприведённая формула следует из равенства
\operatorname{rank}(A-\lambda I) = \operatorname{rank}(J-\lambda I)

История

Такая форма матрицы рассматривалась одним из первых Жорданом.

Примечания

  1. Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
  2. Хорн Р. (Roger A. Horn), Джонсон Ч. (Charles C. Johnson) Матричный анализ. — М.: Мир, 1989 (ISBN 5-03-001042-4).

Литература

  • Халмош П. Конечномерные векторные пространства. — М.: Физматгиз, 1963. — 264 с.
  • Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1966. — 576 с.
  • Хорн Р. (Roger A. Horn), Джонсон Ч. (Charles C. Johnson). Матричный анализ. — М.: Мир, 1989, 655 с., ил. (ISBN 5-03-001042-4).
  • Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
  • Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
  • Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
  • Ким, Г.Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия, Москва, 2005.
  • В. В. Колыбасова, Н. Ч. Крутицкая, А. В. Овчинников. «Жорданова форма матрицы оператора» //180Кб 10.03.2009//



Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Жорданова матрица" в других словарях:

  • ЖОРДАНОВА МАТРИЦА — квадратная блочно диагональная матрица J над полем к, имеющая вид где Jm(l) квадратная матрица порядка твида Матрица J т(l)называется жордановой клеткой порядка m с собственным числом к. Каждая клетка определяется элементарным делителем (см. [5]) …   Математическая энциклопедия

  • Жорданова нормальная форма — Жорданова матрица квадратная блочно диагональная матрица над полем k, с блоками вида …   Википедия

  • Жорданова форма — Жорданова матрица квадратная блочно диагональная матрица над полем k, с блоками вида …   Википедия

  • ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА — матрицы см. Жорданова матрица …   Математическая энциклопедия

  • Матрица (в математике) — Матрица в математике, система элементов aij (чисел, функций или иных величин, над которыми можно производить алгебраические операции), расположенных в виде прямоугольной схемы. Если схема имеет m строк и n столбцов, то говорят о (m n) матрице.… …   Большая советская энциклопедия

  • МАТРИЦА — прямоугольная таблица состоящая из т строк и n столбцов; её паз. M. размера Элементами(первый индекс указывает номер строки, второй номер столбца) M. могут быть числа, ф ции пли др. величины, над к рыми можно производить алгебраич. операции. M.… …   Физическая энциклопедия

  • Матрица (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Матрица. Матрица  математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых, действительных или комплексных чисел), которая представляет… …   Википедия

  • Матрица линейного оператора — Матрица  математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел (или элементов кольца) и допускающий алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение и др.) между ним и другими подобными объектами. Правила выполнения… …   Википедия

  • Матрица — I Матрица (нем. Matrize, от латинского matrix матка, источник, начало)         в полиграфии,          1) сменный элемент литейной формы с углублённым (иногда фотографическим) изображением буквы или знака, используемый при отливке типографских… …   Большая советская энциклопедия

  • Нормальная (жорданова) форма матриц — Нормальная (жорданова) форма матриц. С каждой квадратной матрицей связан целый класс матриц, подобных матрице А. В этом классе всегда существует матрица, имеющая специальную нормальную (или каноническую) жорданову форму [термин «Н. (ж.) ф. м.»… …   Большая советская энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»