Выпуклая функция

Выпуклая функция, её график выделен синим и надграфик закрашен зеленым.

Выпуклая функция — функция, у которой надграфик является выпуклым множеством.

Определение

Вещественнозначная функция, определённая на некотором интервале (в общем случае на выпуклом подмножестве некоторого векторного пространства) выпукла, если для любых двух значений аргумента $x$, $y$ и для любого числа $t\in[0,1]$ выполняется неравенство Йенсена:

$f(tx+(1-t)y)\leq t f(x)+(1-t)f(y)$

Если это неравенство является строгим для всех $t \in (0,1)$, функция называется строго выпуклой; если выполняется обратное неравенство, функция называется вогнутой, или выпуклой вверх.

NB! Иногда выпуклая функция определяется как вогнутая и наоборот.

Свойства

• Функция $f$, выпуклая на интервале $\mathbb{I}$, непрерывна на всём $\mathbb{I}$, дифференцируема на всём $\mathbb{I}$ за исключением не более чем счётного множества точек и дважды дифференцируема почти везде.
• Непрерывная функция $f$ выпукла на $\mathbb{I}$ тогда и только тогда, когда для всех точек $x, y \in \mathbb{I}$ выполняется неравенство

  $f\left(\frac{x+y}2 \right) \le \frac{f(x)+f(y)}2$

• Непрерывно дифференцируемая функция одной переменной выпукла на интервале тогда и только тогда, когда её график лежит не ниже касательной, проведённой к этому графику в любой точке промежутка выпуклости.
• Дважды дифференцируемая функция одной переменной выпукла на интервале тогда и только тогда, когда её вторая производная неотрицательна на этом интервале. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции строго положительна, такая функция является строго выпуклой, однако обратное неверно (например, функция $f(x)=x^4$ строго выпукла на $[-1,1]$, но её вторая производная в точке $x=0$ равна нулю).
• Если функции $f$, $g$ выпуклы, то любая их линейная комбинация $af+bg$ с положительными коэффициентами $a$, $b$ также выпукла.
• Локальный минимум выпуклой функции является также глобальным минимумом (соответственно, для выпуклых вверх функций локальный максимум является глобальным максимумом).
• Любая стационарная точка выпуклой функции будет глобальным экстремумом.
• Для выпуклых функций выполняется неравенство Йенсена:

    $f\left(E(X)\right) \leq E(f(X)),$
где $X$ — случайная величина со значениями в области определения функции $f$, $E$ — математическое ожидание.