- Ковариационная матрица
-
Ковариацио́нная ма́трица (или ма́трица ковариа́ций) в теории вероятностей — это матрица, составленная из попарных ковариаций элементов одного или двух случайных векторов.
Ковариационная матрица случайного вектора — квадратная симметрическая матрица, на диагонали которой располагаются дисперсии компонент вектора, а внедиагональные элементы — ковариациями между компонентами.
Определения
- Пусть
,
— два случайных вектора размерности
и
соответственно. Пусть также случайные величины
имеют конечный второй момент, то есть
. Тогда матрицей ковариации векторов
называется
то есть
,
где
.
- Если
, то
называется матрицей ковариации вектора
и обозначается
.[1]Такая матрица ковариации является обобщением дисперсии для многомерной случайной величины, а ее след — скалярным выражением дисперсии многомерной случайной величины. Собственные векторы и собственные числа этой матрицы позволяют оценить размеры и форму облака распределения такой случайной величины, аппроксимировав его эллипсоидом (или эллипсом в двумерном случае).
Свойства матриц ковариации
- Сокращённая формула для вычисления матрицы ковариации:
.
- Матрица ковариации случайного вектора неотрицательно определена[1]:
.
- Смена масштаба:
.
- Если случайные векторы
и
нескоррелированы (
), то
.
- Матрица ковариации аффинного преобразования:
,
где
— произвольная матрица размера
, а
.
- Перестановка аргументов:
- Матрица ковариации аддитивна по каждому аргументу:
,
.
- Если
и
независимы, то
.
Примечания
Категория:- Теория вероятностей
- Пусть
Wikimedia Foundation. 2010.