- Обратная матрица
-
Обра́тная ма́трица — такая матрица A−1, при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:
Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам.
Содержание
Свойства обратной матрицы
, где
обозначает определитель.
для любых двух обратимых матриц
и
.
где
обозначает транспонированную матрицу.
для любого коэффициента
.
- Если необходимо решить систему линейных уравнений
, (b — ненулевой вектор) где
— искомый вектор, и если
существует, то
. В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.
Способы нахождения обратной матрицы
Если матрица обратима, то для нахождения обратной матрицы можно воспользоваться одним из следующих способов:
Точные (прямые) методы
Метод Гаусса—Жордана
Возьмём две матрицы: саму A и единичную E. Приведём матрицу A к единичной матрице методом Гаусса—Жордана. После применения каждой операции к первой матрице применим ту же операцию ко второй. Когда приведение первой матрицы к единичному виду будет завершено, вторая матрица окажется равной A−1.
При использовании метода Гаусса первая матрица будет умножаться слева на одну из элементарных матриц
(трансвекцию или диагональную матрицу с единицами на главной диагонали, кроме одной позиции):
.
.
Вторая матрица после применения всех операций станет равна
, то есть будет искомой. Сложность алгоритма —
.
С помощью матрицы алгебраических дополнений
— транспонированная матрица алгебраических дополнений;
Полученная матрица A−1 и будет обратной. Сложность алгоритма зависит от сложности алгоритма расчета определителя Odet и равна O(n²)·Odet.
Иначе говоря, обратная матрица равна единице, делённой на определитель исходной матрицы и умноженной на транспонированную матрицу алгебраических дополнений элементов исходной матрицы.
Использование LU/LUP-разложения
Матричное уравнение
для обратной матрицы
можно рассматривать как совокупность
систем вида
. Обозначим
-ый столбец матрицы
через
; тогда
,
,поскольку
-м столбцом матрицы
является единичный вектор
. другими словами, нахождение обратной матрицы сводится к решению n уравнений с одной матрицей и разными правыми частями. После выполнения LUP-разложения (время O(n³)) на решение каждого из n уравнений нужно время O(n²), так что и эта часть работы требует времени O(n³)[1].
Если матрица A невырождена, то для неё можно рассчитать LUP-разложение
. Пусть
,
. Тогда из свойств обратной матрицы можно записать:
. Если умножить это равенство на U и L то можно получить два равенства вида
и
. Первое из этих равенств представляет собой систему из n² линейных уравнений для
из которых известны правые части (из свойств треугольных матриц). Второе представляет также систему из n² линейных уравнений для
из которых известны правые части (также из свойств треугольных матриц). Вместе они представляют собой систему из n² равенств. С помощью этих равенств можно реккурентно определить все n² элементов матрицы D. Тогда из равенства (PA)−1 = A−1P−1 = B−1 = D. получаем равенство
.
В случае использования LU-разложения не требуется перестановки столбцов матрицы D но решение может разойтись даже если матрица A невырождена.
Сложность алгоритма — O(n³).
Итерационные методы
Методы Шульца
Оценка погрешности
Выбор начального приближения
Проблема выбора начального приближения
в рассматриваемых здесь процессах итерационного обращения матриц не позволяет относиться к ним как к самостоятельным универсальным методам, конкурирующими с прямыми методами обращения, основанными, например, на LU-разложении матриц. Имеются некоторые рекомендации по выбору
, обеспечивающие выполнение условия
(спектральный радиус матрицы меньше единицы), являющегося необходимым и достаточным для сходимости процесса. Однако при этом, во-первых, требуется знать сверху оценку спектра обращаемой матрицы A либо матрицы
(а именно, если A — симметричная положительно определённая матрица и
, то можно взять
, где
; если же A — произвольная невырожденная матрица и
, то полагают
, где также
; можно конечно упростить ситуацию и, воспользовавшись тем, что
, положить
). Во-вторых, при таком задании начальной матрицы нет гарантии, что
будет малой (возможно, даже окажется
), и высокий порядок скорости сходимости обнаружится далеко не сразу.
Примеры
Матрица 2х2
Обращение матрицы 2х2 возможно только при условии, что
.
Примечания
- ↑ Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р., Штайн К. Алгоритмы: построение и анализ, — М.: Вильямс, 2006 (стр. 700)
Ссылки
В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена.
Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники.
Эта отметка установлена 14 мая 2011.Категория:- Типы матриц
Wikimedia Foundation. 2010.