Свойства функций, непрерывных в точке

Непреры́вное отображе́ние или непрерывная функция — это такое отображение, у которого небольшие изменения аргумента приводят к небольшим изменениям значения отображения.

Это понятие определятся немного по-разному в различных разделах математики; наиболее общее определение используется в общей топологии.

Определения

Непрерывная числовая функция

• Пусть дана функция $f\colon M\subset\R\to\R,$ и $a\in M.$ Тогда говорят, что f непрерывна в точке a и пишут $f \in C(a),$ если $\forall \varepsilon > 0\; \exists \delta > 0\; \forall x\in M$

  $(|x-a| < \delta) \Rightarrow (|f(x)-f(a)| < \varepsilon).$

• Пусть дано подмножество $N\subset M.$ Тогда говорят, что f непрерывна на N и пишут $f\in C(N),$ если

  $\forall a \in N\quad f\in C(a).$

Непрерывное отображение из R^m в Rⁿ

Обобщая одномерный случай, функция $f\colon M \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$ называется непрерывной в точке $a \in M,$ если $\forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0 \; \forall x \in M$

$\bigl(\|x-a\|_m < \delta\bigr) \Rightarrow \bigl(\|f(x) - f(a)\|_n < \varepsilon\bigr),$

где

$\|x\|_k \equiv \sqrt{\sum\limits_{i=1}^k x_i^2},\quad x = (x_1,\ldots,x_k)^{\top} \in \mathbb{R}^k$ — евклидова норма в $\mathbb{R}^k.$

Непрерывное отображение метрических пространств

В предыдущем определении наличие операции вычитания, точнее линейной структуры, в евклидовых пространствах не играет принципиальной роли. Достаточно лишь иметь возможность измерять расстояния. Множества, на которых указан способ измерять расстояния, называются метрическими пространствами. Отображение $f\colon X \to Y$ метрического пространства (X,ρ_X) в метрическое пространство (Y,ρ_Y) называется непрерывным в точке a, если $\forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0 \; \forall x \in X$

$\Big(\rho_X(x,a) < \delta\Big) \Rightarrow \Big( \rho_Y \bigl(f(x), f(a)\bigr)< \varepsilon \Big).$

Непрерывное отображение топологических пространств

В предыдущих определениях важно не наличие точной меры расстояния, а лишь понятия близости. Непрерывное отображение переводит близкие точки в близкие. Множество, в котором указан некоторый набор подмножеств $\mathcal{T}$, позволяющий говорить о близких точках, называется топологическим пространством. Отображение $f\colon X \to Y$ топологического пространства $(X,\mathcal{T}_X)$ в топологическое пространство $(Y,\mathcal{T}_Y)$ называется непрерывным, если прообраз любого открытого множества открыт:

$\forall V \in \mathcal{T}_Y \quad f^{-1}(V) \in \mathcal{T}_X.$

Связанные определения

Если функция не является непрерывной в точке a, то говорят, что она в ней разры́вна и пишут $f \not\in C(a).$ Согласно замечанию выше функция может быть разрывной только в предельной точке области определения, и справедливо одно из двух:

1. Либо предел $\lim\limits_{x\to a} f(x)$ не существует;
2. Либо он существует, но $\lim\limits_{x\to a} f(x) \neq f(a).$

Пусть существует $\lim\limits_{x\to a} f(x),$ но $a \not\in M$ или $\lim\limits_{x\to a} f(x) \neq f(a).$ Тогда a называется то́чкой устрани́мого разры́ва. Положив $f(a) = \lim\limits_{x\to a} f(x),$ можно добиться непрерывности функции в этой точке. Такое изменение значения функции в точке, превращающее функцию в непрерывную в этой точке, называется доопределением по непрерывности.

Пусть не сущестует двусторонний предел $\lim\limits_{x\to a} f(x),$ но существуют конечные (и различные) односторонние пределы $\lim\limits_{x\to a-} f(x)$ и $\lim\limits_{x\to a+} f(x).$ Тогда $f\not\in C(a),$ и a называется то́чкой разры́ва пе́рвого ро́да.

Если $f\not\in C(a),$ и a не является точкой устранимого разрыва или разрыва первого рода, то есть хотя бы один односторонний предел не существует или бесконечен, то она называется то́чкой разры́ва второ́го ро́да.

Свойства

• Функция всегда непрерывна в изолированной точке области определения, то есть

$\left(a \in M\setminus M'\right) \Rightarrow \bigl(f\in C(a)\bigr).$

• В предельной точке области определения непрерывность функции эквивалентна существованию предела, равного значению функции в точке:

$\bigl( a\in M \cap M' \bigr) \Rightarrow \bigl( f\in C(a) \Leftrightarrow \lim\limits_{x \to a}f(x) = f(a)\bigr).$

Вещественнозначаные функции

• Функция сохраняет знак в окрестности точки непрерывности. Пусть $f\in C(a),\; f(a) > 0.$ Тогда существует окрестность U(a) такая, что

$\forall x \in U(a)\cap M\quad f(x) > 0.$

• Сумма непрерывных функций также является непрерывной. Пусть $f,g \in C(a)$. Тогда

  $f+g \in C(a).$

• Непрерывная функция умноженная на константу также является непрерывной. Пусть $f \in C(a),$ и $\alpha\in \mathbb{R}$ — произвольная константа. Тогда

  $\alpha f \in C(a).$

• Произведение непрерывных функций также является непрерывным. Пусть $f,g \in C(a)$. Тогда

  $f\cdot g \in C(a).$

• Частное непрерывных функций также является непрерывным. Пусть $f,g \in C(a),$ и $g(a) \neq 0.$ Тогда существует окрестность U(a), в которой функция $\frac{f}{g}$ определена, и

  $\frac{f}{g} \in C(a).$

• Композиция двух непрерывных функций так же является непрерывной. Пусть $f\in C(a),\; b = f(a),\; g \in C(b).$ Тогда

  $g \circ f \in C(a).$

• Дифференцируемая функция всегда непрерывна. Обратное, вообще говоря, неверно. Например, функция Ван-дер-Вардена непрерывна, но не дифференцируема на всей прямой.
• Теорема Больцано — Коши;
• Теорема Вейерштрасса о функции, непрерывной на компакте.

Примеры

• Произвольные многочлены, рациональные функции, показательные функции, логарифмы, тригонометрические прямые и обратные функции непрерывны везде в своей области определения.
• Функция $f\colon\mathbb{R} \to \mathbb{R},$ задаваемая формулой

$f(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{\sin x}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{matrix} \right.$

непрерывна в любой точке $x \neq 0.$ Точка x = 0 является точкой устранимого разрыва, ибо

$\lim\limits_{x \to 0} f(x) = \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \neq 0 = f(0).$

• Функция знака

$f(x) = \sgn x = \left\{ \begin{matrix} -1, & x < 0 \\ 0, & x = 0 \\ 1, & x > 0 \end{matrix} \right.,\; x\in \mathbb{R}$

непрерывна в любом $x \neq 0.$ Точка x = 0 является точкой разрыва первого рода, ибо

$\lim\limits_{x \to 0-}f(x) = -1 \neq 1 = \lim\limits_{x \to 0+}f(x) .$

непрерывна в любом $x \neq 0.$

Вариации и бобщения

Односторнняя непрерывность

• Пусть дана функция $f:M\subset \mathbb{R} \to \mathbb{R},$ и $a\in M.$ Тогда говорят, что f непреры́вна спра́ва в точке a, если $\forall \varepsilon > 0\; \exists \delta > 0\; \forall x\in M$

  $(|x-a| < \delta \wedge x\ge a) \Rightarrow (|f(x)-f(a)| < \varepsilon).$

• Говорят, что f непреры́вна сле́ва в точке a, если $\forall \varepsilon > 0\; \exists \delta > 0\; \forall x\in M$

  $(|x-a| < \delta \wedge x\le a) \Rightarrow (|f(x)-f(a)| < \varepsilon).$

Замечания

• Функция непрерывна тогда и только тогда, когда она непрерывна одновременно справа и слева.
• Функция непрерывна справа в предельной точке области определения тогда и только тогда, когда существует правосторонний предел

$\lim\limits_{x \to a+}f(x) = f(a).$

• Функция непрерывна слева в предельной точке области определения тогда и только тогда, когда существует левосторонний предел

$(\lim\limits_{x \to a-}f(x) = f(a)).$

• Все базовые свойства непрерывных функций переносятся на односторонне непрерывные функции.

Примеры

• Функция

$f(x) = \left\{ \begin{matrix} 1,& x \geqslant 0\\ 0, & x < 0 \end{matrix} \right.,\quad x\in \mathbb{R}$

непрерывна справа (но не слева) в точке x = 0. Во всех других точках она непрерывна.

• Кумулятивная функция распределения дискретной случайной величины в теории вероятностей непрерывна справа в любой точке.

См. также

• Пространство непрерывных функций
• Общая топология
• Топологическое пространство
• Открытое отображение