- РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ
последовательности функций (отображений) - свойство последовательности
, где X- произвольное множество, Y - метрич. пространство, n=1,2,..., к функции (отображению)
, означающее, что для любого e>0 существует такой номер п e , что для всех номеров п>ne и всех точек
выполняется неравенство
Это условие равносильно тому, что
Чтобы последовательность {fn} равномерно сходилась на множестве Xк функции f, необходимо и достаточно, чтобы нашлась такая числовая последовательность {an}, что
и существовал такой номер n0, что для всех n>n0 и всех
выполнялось неравенство
Пример. Последовательность fn(x)=xn, п=1,2,..., равномерно сходится на любом отрезке [0, а], 0<а<1 и не сходится равномерно на отрезке [0, 1].
Необходимое и достаточное условие Р. с. последовательности функций без использования понятия предельной функции дает Ноши критерий равномерной сходимости.
Свойства равномерно сходящихся последовательностей.
1. Если Y - линейное нормированное пространство и последовательности отображений
и
, n=1, 2,. . ., равномерно сходятся на множестве X, то при любых
и
последовательность {lfn+mgn} также равномерно сходится на X.
2. Если Y - линейное нормированное кольцо, последовательность отображений
, 2,. . ., равномерно сходится на множестве Xи g: X
Y - ограниченное отображение, то последовательность {gfn} также равномерно сходится на X.
3. Если X - топологич. пространство, Y - метрич. пространство и последовательность непрерывных в точке
отображений
равномерно на множестве Xсходится к отображению
, то это отображение также непрерывно в точке x0, то есть
Условие равномерной сходимости последовательности {fn} на Xявляется в этом утверждении существенным в том смысле, что существуют даже последовательности числовых непрерывных на отрезке функций, сходящиеся во всех его точках к функции, не являющейся непрерывной на рассматриваемом отрезке. Примером такой последовательности является fn(x)=xn, n=1,2,. . ., на отрезке [0, 1]. Р. с. последовательности непрерывных функций не есть необходимое условие непрерывности предельной функции. Однако если множество X- компакт, Y- множество действительных чисел
, последовательность непрерывных функций
во всех точках
одновременно возрастает или убывает и имеет конечный предел,
то для того, чтобы функция f была непрерывной на множестве X, необходимо и достаточно, чтобы последовательность {fn} сходилась равномерно на этом множестве. Необходимые и одновременно достаточные условия для непрерывности предела последовательности непрерывных функций в общем случае даются в терминах квазиравномерной сходимости последовательности.
4. Если последовательность интегрируемых по Риману (по Лебегу) функций
, n=1,2,. . ., равномерно на отрезке [ а, b], сходится к функции
, то эта функция также интегрируема по Риману (соответственно по Лебегу), и для любого
имеет место равенство
(*)
и сходимость последовательности
на отрезке [ а, b]к функции
равномерна. Формула (*) обобщается на случай Стилтьеса интеграла. Если же последовательность интегрируемых на отрезке [ а, b]функций fn, п=1, 2, . . ., просто сходится в каждой точке этого отрезка к интегрируемой же на нем функции f, то формула (*) может не иметь места.
5. Если последовательность непрерывно дифференцируемых на отрезке [ а, b]функций
, п=1, 2,. . ., сходится в нек-рой точке
, а последовательность их производных
равномерно сходится на [ а, b], то последовательность {fn} также равномерно сходится на отрезке [ а, b], ее предел является непрерывно дифференцируемой на этом отрезке функцией и
Пусть X - произвольное множество, а Y - метрич. пространство. Семейство функций (отображений) fa:Х
Y,
, где
- топологич. пространство, наз. равномерно сходящимся при
к функции (отображению)
, если для любого e>0 существует такая окрестность U(a0) точки a0, что для всех
и всех
выполняется неравенство
Для равномерно сходящихся семейств функций имеют место свойства, аналогичные указанным выше свойствам Р. с. последовательностей функций.
Понятие Р. с. отображений обобщается на случай, когда Y - равномерное пространство, в частности, когда Y - топологич. группа.
Лит.:[1] Александров П. С., Введение в теорию множеств и общую топологию, М., 1977; [2] Колмогорова. Н., ФоминС. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981; [3] Келли Д ж. Л., Общая топология, пер. с англ., 2 изд., М., 1981.
Л. Д. Кудрявцев.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.