Признак Дирихле

Признак Дирихле — теорема, указывающая достаточные условия сходимости несобственных интегралов и суммируемости бесконечных рядов. Названа в честь немецкого математика Лежёна-Дирихле.

Признак Дирихле сходимости несобственных интегралов первого рода

Пусть выполнены условия: $f(x)\in C[a,\;+\infty)$ и имеет на $[a,\;+\infty)$ ограниченную первообразную $F(x)$, то есть $\exists M>0:\quad|F(x)|\leqslant M\quad\forall x>a$; функция $g(x)\in C^1[a,\;+\infty),\quad g(x)>0,\quad g'(x)\leqslant 0\quad\forall x>a$; $\lim_{x\to+\infty}g(x)=0$. Тогда $\int\limits_a^{+\infty}f(x)g(x)\,dx$ сходится.

• Очевидно, что вместо второго условия можно также записать $g(x)\in C^1[a,\;+\infty),\quad g(x)<0,\quad g'(x)\geqslant 0\quad\forall x>a$.
• Условие монотонности в признаке Дирихле существенно.

$\int\limits_1^{+\infty}\frac{\sin x}{\sqrt x+\sin x}\,dx=\infty.$

Однако, условие монотонности не является необходимым.

$\int\limits_2^{+\infty}\frac{\sin x}{x+2\sin x}\,dx$ — сходится.

• Условие ограниченности первообразной в признаке Дирихле также является существенным, но не является необходимым.

Признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа

Определение (ряд Абелева типа)

Ряд $\sum_{n=1}^\infty a_nb_n$, где $|B_n|=\left|\sum_{k=1}^n b_k\right|\leqslant M\quad\forall n\in\N$ и последовательность $\{a_n\}$ — положительна и монотонна (начиная с некоторого места, хотя бы в широком смысле слова), называется рядом Абелева типа.

Теорема (признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа)

Пусть выполнены условия: Последовательность частичных сумм $B_n=\sum_{k=1}^n b_k$ ограничена, то есть $\exists M>0:|B_n|\leqslant M\quad\forall n\in\N$. $a_n\geqslant a_{n+1}\quad\forall n\in\N$. $\lim_{n\to\infty}a_n=0$. Тогда ряд $\sum_{n=1}^\infty a_nb_n$ сходится.

• Признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа является аналогом признака Дирихле о сходимости несобственного интеграла первого рода.
• Легко убедиться, что признак Лейбница сходимости знакопеременных рядов является частным случаем этой теоремы, а именно:

$\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}c_n,\quad c_n>0,\;c_{n+1}\leqslant c_n\quad\forall n\in\N,\quad\lim_{n\to\infty}c_n=0;$

$b_n=(-1)^{n+1}\Rightarrow|B_n|=\left|\sum_{k=1}^n(-1)^{n+1}\right|\leqslant 1\quad\forall n\in\N\Rightarrow$ сходимость ряда Лейбница на основании признака Дирихле.

• Оценка остатка ряда Абелева типа
  Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^\infty a_nb_n$ и пусть выполнены условия признака Дирихле. Тогда имеет место оценка: $|r_n|=\left|\sum_{k=n+1}^\infty a_kb_k\right|\leqslant 2Ma_{n+1}\quad\forall n\in\N$.

См. также

• Признак Абеля

Литература

А. К. Боярчук «Функции комплексного переменного: теория и практика» Справочное пособие по высшей математике. Т.4 М.: Едиториал УРСС, 2001. — 352с.

Для улучшения этой статьи желательно?: Проставив сноски, внести более точные указания на источники. Викифицировать список литературы, используя шаблон {{книга}}, и проставить ISBN.