- Ряд Фурье
-
Ряд Фурье — представление произвольной функции
с периодом
в виде ряда
Этот ряд может быть также переписан в виде
.
где
— амплитуда k-го гармонического колебания,
— круговая частота гармонического колебания,
— начальная фаза k-го колебания,
— k-я комплексная амплитуда
В более общем виде рядом Фурье элемента гильбертова пространства называется разложение этого элемента по ортогональному базису. Существует множество систем ортогональных функций: Уолша, Лагера, Котельникова и др.
Разложение функции в ряд Фурье является мощным инструментом при решении самых разных задач благодаря тому, что ряд Фурье прозрачным образом ведёт себя при дифференцировании, интегрировании, сдвиге функции по аргументу и свёртке функций.
Содержание
Тригонометрический ряд Фурье
Тригонометрическим рядом Фурье функции
называют функциональный ряд вида
(1) где
Числа
,
и
(
) называются коэффициентами Фурье функции
. Формулы для них можно объяснить следующим образом. Предположим, мы хотим представить функцию
в виде ряда (1), и нам надо определить неизвестные коэффициенты
,
и
. Если умножить правую часть (1) на
и проинтегрировать по промежутку
, благодаря ортогональности в правой части все слагаемые обратятся в нуль, кроме одного. Из полученного равенства легко выражается коэффициент
. Аналогично для
Ряд (1) сходится к функции
в пространстве
. Иными словами, если обозначить через
частичные суммы ряда (1):
,
то их среднеквадратичное отклонение от функции
будет стремиться к нулю:
.
Несмотря на среднеквадратичную сходимость, ряд Фурье функции, вообще говоря, не обязан сходиться к ней поточечно.
Часто при работе с рядами Фурье бывает удобнее в качестве базиса использовать вместо синусов и косинусов экспоненты мнимого аргумента. Мы рассматриваем пространство
комплекснозначных функций со скалярным произведением
.
Мы также рассматриваем систему функций
-
.
Как и прежде, эти функции являются попарно ортогональными и образуют полную систему, и, таким образом, любая функция
может быть разложена по ним в ряд Фурье:
,
где ряд в правой части сходится к
по норме в
. Здесь
.
Коэффициенты :
связаны с классическими коэффициентами Фурье по следующим формулам:
- Комплексная функция вещественной переменной раскладывается в такой же ряд Фурье по мнимым экспонентам, как и вещественная, но, в отличие от последней, для её разложения
и
не будут, вообще говоря, комплексно сопряженными.
Обобщения
Ряды Фурье в гильбертовом пространстве
Описанную выше конструкцию можно обобщить со случая пространства
с тригонометрической системой на произвольное гильбертово пространство. Пусть даны ортогональная система
в гильбертовом пространстве
и
— произвольный элемент из
. Предположим, мы хотим представить
в виде (бесконечной) линейной комбинации элементов
:
Домножим это выражение на
. С учётом ортогональности системы функций
все слагаемые ряда обращаются в ноль, кроме слагаемого при
:
Последовательность чисел
называется координатами, или коэффициентами Фурье элемента
по системе
, а ряд
называется рядом Фурье элемента
по ортогональной системе
.
Ряд Фурье любого элемента
по любой ортогональной системе сходится в пространстве
, но его сумма не обязательно равна
. Для ортонормированной системы
в сепарабельном гильбертовом пространстве следующие условия эквивалентны:
- система является базисом, то есть сумма ряда Фурье любого элемента равна этому элементу.
- система является полной, то есть в
не существует ненулевого элемента, ортогонального всем элементам
одновременно.
- система является замкнутой, то есть для любого
выполнено равенство Парсеваля
-
.
- линейные комбинации элементов
плотны в пространстве
.
Если эти условия не выполняются, то сумма ряда Фурье элемента
равна его ортогональной проекции на замыкание линейной оболочки элементов
. В этом случае вместо равенства Парсеваля справедливо неравенство Бесселя:
ПримерыТригонометрические функции
,
образуют базис гильбертова пространства
. Если мы рассмотрим только косинусы или только синусы, то такая система больше не будет полной. Замыкание линейной оболочки функций
- это все четные функции из
, а замыкание линейной оболочки функций
- все нечетные функции. Результатом разложения функции
в ряды Фурье по этим системам будут соответственно четная и нечетная части функции
:
Еще более интересная ситуация возникает при рассмотрении системы
. Эта система вновь не будет полной. Замыкание ее линейной оболочки — пространство Харди
. Элементы этого пространства -- те и только те функции
, что
, где
— граничные значения некоторой функции, аналитической в круге
Двойственность Понтрягина
При обобщении теории рядов Фурье на случай гильбертовых пространств теряются свойства, выражающие связь рядов Фурье со сверткой — то, что коэффициенты Фурье свертки функций являются почленными произведениями их коэффициентов Фурье, и наоборот, коэффициенты Фурье произведения представляются сверткой коэффициентов Фурье сомножителей. Эти свойства являются ключевыми для приложений теории Фурье к решению дифференциальных, интегральных и других функциональных уравнений. Поэтому большой интерес представляют такие обобщения теории рядов Фурье, при которых эти свойства сохраняются. Таким обобщением является теория двойственности Понтрягина. Она рассматривает функции, заданные на локально-компактных абелевых группах. Аналогом ряда Фурье такой функции будет функция, заданная на двойственной группе.
Сходимость ряда Фурье
Обзор результатов о сходимости ряда Фурье
Обозначим через
частичные суммы ряда Фурье функции
:
.
Далее обсуждается сходимость последовательности функций
к функции
в различных смыслах. Функция
предполагается
-периодической (если она задана только на промежутке
, её можно периодически продолжить).
- Если
, то последовательность
сходится к функции
в смысле
. Кроме того,
являются наилучшим (в смысле расстояния в
) приближением функции
тригонометрическим многочленом степени не выше
.
- Сходимость ряда Фурье в заданной точке
— локальное свойство, то есть, если функции
и
совпадают в некоторой окрестности
, то последовательности
и
либо одновременно расходятся, либо одновременно сходятся, и в этом случае их пределы совпадают.
- Если функция
дифференцируема в точке
, то её ряд Фурье в этой точке сходится к
. Более точные достаточные условия в терминах гладкости функции
задаются признаком Дини.
- Функция, непрерывная в точке
, может иметь расходящийся в ней ряд Фурье. Однако, если он сходится, то непременно к
. Это следует из того, что для непрерывной в
функции
последовательность
сходится по Чезаро к
.
- Если функция
разрывна в точке
, но имеет пределы в этой точке справа и слева
, то при некоторых дополнительных условиях
сходятся к
. Подробнее см. модифицированный признак Дини.
- Теорема Карлесона: если
, то её ряд Фурье сходится к ней почти всюду. Это верно и если
. Однако, существуют функции из
, ряд Фурье которых расходится во всех точках (теорема Колмогорова).
- Зафиксируем точку
. Тогда множество всех непрерывных функций, ряд Фурье которых сходится в этой точке, является множеством первой категории в пространстве
. В некотором смысле это означает, что «типичная» непрерывная функция имеет расходящийся ряд Фурье.
Убывание коэффициентов Фурье и аналитичность функции
Существует фундаментальная связь между аналитичностью функции и скоростью убывания её коэффициентов Фурье. Чем «лучше» функция, тем быстрее её коэффициенты стремятся к нулю, и наоборот. Степенное убывание коэффициентов Фурье присуще функциям класса
, а экспоненциальное — аналитическим функциям. Примеры такого рода связи:
- Коэффициенты Фурье любой интегрируемой функции стремятся к нулю (лемма Римана-Лебега (англ.)).
- Если функция
принадлежит классу
, то есть дифференцируема
раз и её
-я производная непрерывна, то
- Если ряд
сходится абсолютно, то
при всех
.
- Если функция принадлежит классу Гёльдера с показателем
, то ряд
сходится абсолютно (Теорема Бернштейна).
- Если
, то функция
является аналитической. Верно и обратное.
См. также
- Преобразование Фурье
- Быстрое преобразование Фурье
- Тригонометрический ряд
- Признак Жордана
- Признак Дини
- Числовой ряд
- АТС теорема
Литература
- Жук В.В., Натансон Г.И. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. — С. 188.
- Рудин У. Основы математического анализа. — 1976.
- Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для ВТУЗов. — М.: «Наука», 1964. — Т. 2.
- Зигмунд А. Тригонометрические ряды. — М.: «Мир», 1965. — Т. 1.
Категории:- Преобразование Фурье
- Ряды
- Гармонический анализ
Wikimedia Foundation. 2010.