Признак Дедекинда

Признак Дедекинда — признак сходимости числовых рядов вида $\sum_{n=1}^\infty a_n b_n$ (в общем случае $a_n$ и $b_n$ — комплексные). Установлен Юлиусом Дедекиндом.

Формулировка

Ряд $\sum_{n=1}^\infty a_n b_n \ (a_n,b_n\in \mathbb{C})$ сходится, если: ряд $\sum_{n=1}^\infty (a_n-a_{n+1})$ абсолютно сходится; $a_n\rarr 0$ при $n\rarr\infty$; частичные суммы ряда $\sum_{n=1}^\infty b_n$ ограничены.

Для несобственных интегралов

Произведение $f(x)g(x)$ ($f,g$ непрерывны на $(a,b]$ и $f,g:[a,b]=I\rarr\R$) интегрируемо на $I$, если: $F(x)=\int_x^b f(x)dx, a<x\leqslant b$ ограничен на $(a,b]$; $g^\prime(x)$ абсолютно интегрируема на $I$; $\lim_{x\rarr a+0}g(x)=0$.

Литература

• Математическая энциклопедия, Т.2, «Дедекинда признак»
• Charles Swartz Introduction to gauge integrals