Признак сравнения

Признак сравнения — утверждение об одновременности расходимости или сходимости двух рядов, основанный на сравнении членов этих рядов.

Формулировка

Пусть даны два знакоположительных ряда: $\sum_{n=1}^\infty a_n$ и $\sum_{n=1}^\infty b_n$ . Тогда, если, начиная с некоторого места ($n>N$), выполняется неравенство: $0 \leqslant a_n \leqslant b_n$, то из сходимости ряда $\sum_{n=1}^\infty b_n$ следует сходимость $\sum_{n=1}^\infty a_n$. Или же, если ряд $\sum_{n=1}^\infty a_n$ расходится, то расходится и $\sum_{n=1}^\infty b_n$.

Доказательство

Обозначим $\sigma_n$ частные суммы ряда $\sum b_k$. Из неравенств $(*)$ следует, что $\,0 \leqslant s_n \leqslant \sigma_n, \forall n.$ Поэтому из ограниченности $\,(\sigma_n)$ вытекает ограниченность $\,(s_n),$ а из неограниченности $\,(s_n)$ следует неограниченность $\,(\sigma_n).$ Справедливость признака вытекает из критерия сходимости для $\sum b_k.$

Признак сравнения отношений

Также признак сравнения можно сформулировать в более удобной форме — в виде отношений.

Формулировка

Если для членов строго положительных рядов $\sum_{n=1}^\infty a_n$ и $\sum_{n=1}^\infty b_n$, начиная с некоторого места ($n>N$), выполняется неравенство: $\frac{a_{n+1}}{a_n} \leqslant \frac{b_{n+1}}{b_n}$, то из сходимости ряда $\sum_{n=1}^\infty b_n$ следует сходимость $\sum_{n=1}^\infty a_n$, а из расходимости $\sum_{n=1}^\infty a_n$ следует расходимость $\sum_{n=1}^\infty b_n$.

Доказательство

Перемножая неравенства, составленные для $\,k = 1, 2, ..., n - 1,$, получаем

$\frac{a_n}{a_1} \leqslant \frac{b_n}{b_1},$ или $a_n \leqslant \frac{a_1}{b_1} \,b_n, \forall n.$

Дальше достаточно применить признак сравнения для положительных рядов $\sum a_k$ и $\sum \frac{a_1}{b_1} \,b_k.$

Предельный признак сравнения

Поскольку достоверно установить справедливость этого неравенства при любых n — довольно сложная задача, то на практике признак сравнения обычно используется в предельной форме.

Формулировка

Если $\sum_{n=1}^\infty a_n$ и $\sum_{n=1}^\infty b_n$ есть строго положительные ряды и $\lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n} = l$, то при $0 \leqslant l < \infty$ из сходимости $\sum_{n=1}^\infty a_n$ следует сходимость $\sum_{n=1}^\infty b_n$, а при $0 < l \leqslant \infty$ из расходимости $\sum_{n=1}^\infty b_n$ следует расходимость $\sum_{n=1}^\infty a_n$.

Доказательство

Если $a_k/b_k \xrightarrow \,l, l < +\infty,$ то для достаточно больших $\,k$

$\,a_k \leqslant (l + 1)b_k, \forall k \geqslant m.(3)$

Из ограниченности частных сумм $\sum b_k$ следует ограниченность частных сумм $\sum (l + 1)b_{m+k}.$ Соотношения $\,(3)$ обеспечивают на основании признака сравнения сходимость $\sum a_{m+k}$ и вместе с тем сходимость $\sum a_k.$ Если же $a_k/b_k \xrightarrow \,l, l >0,$ то $b_k/a_k \xrightarrow \,\lambda, \lambda <+\infty,$ и $\sum a_k$ не может сходиться при расходящемся $\sum b_k.$

Литература

• Ю. С. Богданов — «Лекции по математическому анализу» — Часть 2 — Минск — Издательство БГУ им. В. И. Ленина — 1978.

Ссылки

• http://www.math24.ru/comparison-tests.html