Признак Жамэ

Признак Жамэ — признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Пьером Жамэ.

Формулировка

Ряд $\sum_{n=1}^\infty a_n$ сходится, если при $n>N$ выполняется неравенство: $J_n=\frac{n}{\ln n}\cdot \left(1-\sqrt[n]{a_n}\right)\geqslant 1 + \delta,$ где $\delta>0$. Если же $J_n\leqslant 1$, при $n>N$, то ряд расходится.

Доказательство^[1]  

1. Пусть для ряда $\sum_{n=1}^\infty a_n$ выполняется условие:

$\frac{n}{\ln n}\cdot \left( 1-\sqrt[n]{a_n}\right)\geqslant \delta>1$.

Преобразуем это неравенство к виду:

$0\leqslant a_n\leqslant\left(1-\frac{\delta\ln n}{n}\right)^n$.

Поскольку всегда можно найти достаточно большое $n>N$ такое, что:

$1-\frac{\delta\ln n}{n}>0$,

то можно перейти к выражению:

$0\leqslant a_n\leqslant\exp\left(n\ln\left(1-\frac{\delta\ln n}{n}\right)\right)$.

Применив разложение функции $\ln(1-x)$ в ряд Маклорена с остаточным членом в форме Пеано, получим:

$0\leqslant a_n\leqslant\exp\left(\delta\ln n-\delta^2\frac{\ln^2 n}{2n}+o\left(\frac{\ln^2 n}{n}\right)\right)$

Вынесем первое слагаемое из-под экспоненты:

$0\leqslant a_n\leqslant\frac1{n^\delta}\exp\left(-\delta^2\frac{\ln^2 n}{2n}+o\left(\frac{\ln^2 n}{n}\right)\right)$

Теперь здесь применим разложение в ряд Маклорена для функции $e^x$:

$0\leqslant a_n\leqslant\frac1{n^\delta}-\delta^2\frac{\ln^2 n}{2n^{\delta+1}}+o\left(\frac{\ln^2 n}{n^{\delta+1}}\right)$

Пренебрегая бесконечно малыми и, учитывая, что $\delta^2\frac{\ln^2 n}{2n^{\delta+1}}\geqslant 0$, получаем:

$0\leqslant a_n\leqslant\frac1{n^\delta}-\delta^2\frac{\ln^2 n}{2n^{\delta+1}}\leqslant\frac1{n^\delta}$

Последнее, согласно признаку сравнения, означает, что рассматриваемый ряд $\sum_{n=1}^\infty a_n$ сходится и расходится одновременно с рядом $\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^\delta}$ (ряд Дирихле), который сходится при $\delta>1$ и расходится при $\delta\leqslant 1$.

2. Пусть для ряда $\sum_{n=1}^\infty a_n$ выполняется условие:

$\frac{n}{\ln n}\cdot \left(1-\sqrt[n]{a_n}\right)\leqslant 1$

Преобразуем это неравенство к виду:

$a_n\geqslant\left(1-\frac{\ln n}{n}\right)^n=\exp\left(n\ln\left(1-\frac{\ln n}{n}\right)\right)$.

Дважды применив разложение в ряд Маклорена с остаточным членом в форме Пеано, получим:

$a_n \geqslant \frac1{n}-\frac{\ln^2n}{2n^2}+o\left(\frac{\ln^2n}{n^2}\right)=o\left(\frac1{n}\right)$

То есть согласно признаку сравнения, рассматриваемый ряд $\sum_{n=1}^\infty a_n$ расходится, поскольку расходится ряд $\sum_{n=1}^\infty \frac1{n}$ (гармонический ряд).

Формулировка в предельной форме

Если существует предел: $J=\lim_{n \to \infty} J_n$ то при $J > 1$ ряд сходится, а при $J < 1$ — расходится.

Обобщение

Пусть на $\N$ заданы три положительно определённые функции: $\varphi(n), g(n), f(n)$, причём $\varphi(n)$ и $f(n)$ являются неограниченно возрастающими, и для них выполняются условия: $\lim_{n \to \infty}\frac{\varphi(n)g(n)}{f(n)\ln n}=q$ $\lim_{n \to \infty}\frac{g(n)}{f(n)}=0$. Тогда, если для ряда $\sum_{n=1}^\infty a_n$, при $n>N$ выполняется неравенство: $\left(1-a_n^\frac1{\varphi(n)}\right)\frac{f(n)}{g(n)}\geqslant p>\frac1{q}$, то ряд сходится. Если же для ряда $\sum_{n=1}^\infty a_n$, при $n>N$ выполняется неравенство: $\left(1-a_n^\frac1{\varphi(n)}\right)\frac{f(n)}{g(n)}\leqslant p<\frac1{q}$, то ряд расходится.

^[2]

Примечания

1. ↑ chisl
2. ↑ А. В. Антонова Дополнение к признаку Жамэ

Литература

• Б. П. Демидович Сборник задач и упражнений по математическому анализу