Признак Дюбуа-Реймона

Признак Дюбуа-Реймона — признак сходимости числовых рядов вида $\sum_{n=1}^\infty a_n b_n$ (в общем случае $a_n$ и $b_n$ — комплексные). Установлен Пьером Дюбуа-Реймоном.

Формулировка

Ряд $\sum_{n=1}^\infty a_n b_n \ (a_n,b_n\in \mathbb{C})$ сходится, если: ряд $\sum_{n=1}^\infty b_n$ — сходится; ряд $\sum_{n=1}^\infty (a_n-a_{n+1})$ — абсолютно сходится.

Для несобственных интегралов

Произведение $f(x)g(x)$ ($f,g:I\rarr\R$) интегрируемо на $I$, если: $f(x)$ интегрируема на $[a,c]\forall c\geqslant a$ и $F(x)=\int_a^x f(x)dx$ ограничен на $I$; $g(x)$ дифференцируема на $[a,\infty)$ и $g^\prime(x)$ абсолютно интегрируема на $I$; существует предел $\lim_{x\rarr\infty}F(x)g(x)$.

Литература

• Математическая энциклопедия, Т.2, «Дюбуа-Реймона признак»
• R. G. Bartle A modern theory of integration