Теорема Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов

У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Лейбница.

Теорема Лейбница (признак Лейбница) — теорема об условной сходимости знакочередующихся рядов, сформулированная немецким математиком Лейбницем.

Формулировка

Теорема формулируется следующим образом. Знакочередующийся ряд

$S = \sum_{i=1}^\infty b_i$

сходится, если выполняются оба условия:

1. $\left | b_{i+1} \right | < \left | b_i \right |;\,$
2. $\lim_{i \to \infty}b_i = 0.$

Доказательство ^[1]  

Допустим, что ряд начинается с положительного числа (в противном случае по приведённому ниже доказательству следует рассматривать сходимость ряда, начинающегося со второго члена).

2n-ая частичная сумма данного ряда равна $S_{2n} = b_1 + \left( b_2 + b_3 \right) + \left( b_4 + b_5 \right) + \dots + \left( b_{2n - 2} + b_{2n - 1} \right) + b_{2n}.$ Так как каждая сумма в скобках неположительна и $b_{2n} < 0,$ то отсюда следует ограниченность 2n-ой частичной суммы сверху числом $b_1.$

Также та же 2n-ая сумма равна $S_{2n} = \left( b_1 + b_2 \right) + \left( b_3 + b_4 \right) + \dots + \left( {b_{2n - 1} + b_{2n} } \right).$ Каждая сумма в скобках неотрицательна. Отсюда следует неубывание последовательности $S_{2n},$ то есть для любого $n \in N$ выполняется $S_{2n} \leqslant S_{2n + 2}.$

Из первого предложения доказательства эта последовательность ограничена сверху. Значит, существует такое число s, что $\lim_{n \to \infty } S_{2n} = s.$

Далее, так как $S_{2n + 1} = S_{2n} + b_{2n + 1}\,$ и так как $\lim_{n \to + \infty } b_n = 0,$ то $\lim_{n \to \infty } S_{2n + 1} = s.$ Сумма данного ряда равна $S_{2n} = S_{2n + 1} = s,\,$ где $s$ — конечное число. Доказательство сходимости завершено.

Следствие

Из теоремы Лейбница вытекает следствие, позволяющее оценить погрешность вычисления неполной суммы ряда:

$S_n = \sum_{i=1}^n b_i.$

Остаток сходящегося знакочередующегося ряда $R_n = S - S_n\,$ будет по модулю меньше первого отброшенного слагаемого:

$\left| R_n \right| < \left| b_{n+1} \right|.$

Доказательство ^[1]  

Последовательность $S_{2k}$ монотонно возрастающая, так как $S_{2k} = \sum\limits_{i = 2}^{i = n} {\left( {b_{2i - 1} - b_{2i} } \right)},$ а выражение $b_{2i - 1} - b_{2i}$ неотрицательно при любом целом $i.$ Последовательность $S_{2k - 1}$ монотонно убывает, так как $S_{2k + 1} = S_{2k - 1} - \left( {b_{2k} - b_{2k + 1} } \right),$ а выражение в скобках неотрицательно. Как уже доказано при доказательстве самой теоремы Лейбница, у обеих этих последовательностей — $S_{2k}$ и $S_{2k - 1}$ — совпадающий предел при $k \to + \infty.$ Так получено $S_{2k} \leqslant s \leqslant S_{2k - 1}$ и также $s \leqslant S_{2k + 1}.$ Отсюда $0 \leqslant s - S_{2k} \leqslant S_{2k + 1} - S_{2k} = b_{2k + 1}$ и $0 \leqslant S_{2k - 1} - s \leqslant S_{2k - 1} - S_{2k} = b_{2k}.$ Итак, для любого $k$ выполняется $\left| {s - S_k } \right| \leqslant b_{k + 1},$ что и требовалось доказать.

См. также

• Признак Дирихле — обобщение признака Лейбница

Источники

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. — С. 296.

Примечания

1. ↑ ^{1 2} Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: Учеб. для вузов. — 10-е изд., испр. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.