Сумма ряда

Сумма числового ряда $a_1+a_2+\ldots +a_n+\ldots\$ определяется как предел, к которому стремятся суммы первых n слагаемых ряда, когда n неограниченно растёт. Если такой предел существует и конечен, то говорят, что ряд сходится, в противном случае — что он расходится^[1]. Элементы ряда $a_n$ представляют собой комплексные числа (в частности, вещественные).

Определение

Пусть $\sum_{i=1}^\infty a_i=a_1+a_2+\ldots$ — числовой ряд. Число $~S_n=a_1+a_2+\ldots+a_n$ называется n-ой частичной суммой ряда $\sum_{i=1}^\infty a_i$.

Сумма (числового) ряда — это предел частичных сумм $S_n$, если он существует и конечен. Таким образом, если существует число $S=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}a_i$, то в этом случае пишут $\sum_{i=1}^{\infty}a_i=S$. Такой ряд называется сходящимся. Если предел частичных сумм не существует или бесконечен, то ряд называется расходящимся.

Сходимость числовых рядов

Свойство 1. Если ряд

$\sum_{n=1}^{\infty} {u}_{n} = {u}_{1} + {u}_{2} + {u}_{3} + {u}_{4} + ...$   (1.1)

сходится и его сумма равна S, то ряд

$\sum_{n=1}^{\infty} c{u}_{n} = c{u}_{1} + c{u}_{2} + c{u}_{3} + c{u}_{4} + ...$  (1.2)

где c — произвольное число, также сходится и его сумма равна cS. Если же ряд (1.1) расходится и с ≠ 0, то ряд расходится.

Свойство 2. Если сходится ряд (1.1) и сходится ряд

$\sum_{n=1}^{\infty } {v}_{n}$,

а их суммы равны ${S}_{1}$ и ${S}_{2}$ соответственно, то сходятся и ряды

$\sum_{n=1}^{\infty } ({u}_{n} \pm {v}_{n})$,

причём сумма каждого равна соответственно ${S}_{1} \pm {S}_{2}$.

Необходимый признак сходимости ряда

Ряд ${u}_{1} + {u}_{2} + {u}_{3} + ... + {u}_{n} + ...$   может сходиться лишь в том случае, когда член ${u}_{n}$ (общий член ряда) стремится к нулю:

$\lim_{n\rightarrow \infty} {u}_{n} = 0.$

Это необходимый признак сходимости ряда (но не достаточный!). Если же общий член ряда не стремится к нулю — это достаточный признак расходимости.

Примеры

• $\sum_{n=0}^{\infty}q^n=\frac{1}{1-q},$ где $|q|<1,$ — сумма геометрической прогрессии, в частности
  • $\sum_{i=0}^\infin \frac{1}{2^i} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots = 2$
• $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}\,$.
• $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}={\infty}\,$ — гармонический ряд расходится.
• $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n (n+1)}=\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=1$ — телескопический ряд.

См. также

• Действия с числовыми рядами

Обобщения числовых рядов

• Ряд Тейлора
• Ряд Фурье
• Степенной ряд
• Функциональный ряд.

Признаки сходимости

• Логарифмический признак сходимости
• Признак Абеля
• Признак Гаусса
• Признак Дирихле
• Признак Ермакова
• Признак Лобачевского
• Признак Раабе
• Признак сходимости д’Аламбера
• Признаки Коши:
  • Радикальный признак Коши
  • Интегральный признак Коши
• Теорема Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов

Литература

• Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. — 12-е изд. — М.: Наука, 1977.
• Письменный Д. Т. Часть 2 // Конспект лекций по высшей математике. — 6-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2008.
• Савельева Р. Ю. Высшая математика. Теория рядов.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1960. — Т. 2. — 680 с. — ISBN 5-9221-0155-2

Примечания

1. ↑ Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Указ. соч., глава 11.