- Признак Куммера
-
Признак Куммера — общий признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Эрнстом Куммером.
Содержание
Формулировка
Пусть дан ряд и произвольная числовая последовательность , такая что ряд расходится. Тогда ряд сходится, если для некоторого выполняется неравенство:
- ,
где .
Если же для , то ряд расходится.
Доказательство [1]Дан ряд .
1. Доказательство сходимости. Пусть для всех выполняется неравенство:
- .
Домножив обе части этого неравенства на , получим:
- , (*)
а поскольку , то:
- ,
- .
Отсюда следует, что последовательность монотонно убывает и,следовательно, стремится к конечному пределу (так как она ограничена снизу нулём). Соответственно, сходится и последовательность ), которая является суммой первых членов ряда
- ,
который в силу этого также сходится. Но тогда из неравенства (*), по первой теореме сравнения, следует, что сходится ряд . Тогда, поскольку , должен сходится и данный ряд .
Примечание. При доказательстве сходимости не используется условие, что ряд расходится.
2. Доказательство расходимости. Пусть теперь для некоторого выполняется неравенство:
или
- .
Разделив обе части этого неравенства на получим:
- .
Так как по условиям теоремы ряд предполагается расходящимся, то в силу теоремы сравнения, должен расходиться и данный ряд .
Формулировка в предельной форме
Если существует предел:
то при ряд сходится, а при — расходится.
Важные частные случаи
Некоторые другие признаки сходимости рядов являются частными случаями признака Куммера с конкретными видами последовательности :
- При — признак Даламбера;
- При — признак Раабе;
- При — признак Бертрана.
Примечания
- ↑ Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: Наука, 1970.
Признаки сходимости рядов Для знакоположительных
рядовНеобходимое условие · Основной критерий · Признак сравнения · Признак Куммера · Признак Гаусса · Радикальный признак Коши · Интегральный признак · Признак Д’Аламбера · Степенной признак · Логарифмический признак · Признак Раабе · Признак Бертрана · Признак Жамэ · Признак Ермакова · Признак Лобачевского · Признак Реткеса (англ.) · Телескопический признак Для знакочередующихся
рядовПризнак Лейбница Для рядов вида Признак Абеля · Признак Дедекинда · Признак Дюбуа-Реймона · Признак Дирихле Для функциональных рядов Признак Вейерштрасса Для рядов Фурье Признак Дини · Признак Валле-Пуссена · Признак Жордана · Признак Юнга · Признак Салема · Признак Лебега · Признак Лебега–Гергена · Признак Марцинкевича Категория:- Признаки сходимости
Wikimedia Foundation. 2010.