Признак Куммера

Признак Куммера — общий признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Эрнстом Куммером.

Формулировка

Пусть дан ряд $\sum_{n=1}^\infty a_n \, (a_n\geqslant 0)$ и произвольная числовая последовательность $\{c_n\} \, (c_n\geqslant 0)$, такая что ряд $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{c_n}$ расходится. Тогда ряд $\sum_{n=1}^\infty a_n$ сходится, если для некоторого $n>N$ выполняется неравенство: $K_n=c_n \frac{a_n}{a_{n+1}}-c_{n+1}\geqslant\delta$, где $\delta>0$. Если же $K_n\leqslant 0$ для $n>N$, то ряд расходится.

Доказательство ^[1]  

Дан ряд $\sum_{n=1}^\infty a_n$.

1. Доказательство сходимости. Пусть для всех $n$ выполняется неравенство:

$K_n=c_n \frac{a_n}{a_{n+1}}-c_{n+1}\geqslant\delta>0$.

Домножив обе части этого неравенства на $a_{n+1}$, получим:

$c_n\cdot a_n-c_{n+1}\cdot a_{n+1}\geqslant\delta\cdot a_{n+1}$, (*)

а поскольку $\delta>0$, то:

$c_n\cdot a_n-c_{n+1}\cdot a_{n+1}>0$,

$c_n\cdot a_n>c_{n+1}\cdot a_{n+1}$.

Отсюда следует, что последовательность $c_n\cdot a_n$ монотонно убывает и,следовательно, стремится к конечному пределу (так как она ограничена снизу нулём). Соответственно, сходится и последовательность $(c_1\cdot a_1-c_{n+1}\cdot a_{n+1}$), которая является суммой $n$ первых членов ряда

$\sum_{n=1}^\infty (c_n\cdot a_n-c_{n+1}\cdot a_{n+1})$,

который в силу этого также сходится. Но тогда из неравенства (*), по первой теореме сравнения, следует, что сходится ряд $\sum_{n=1}^\infty \delta a_{n+1}$. Тогда, поскольку $a_n \leqslant \delta a_{n+1}$, должен сходится и данный ряд $\sum_{n=1}^\infty a_n$.

Примечание. При доказательстве сходимости не используется условие, что ряд $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{c_n}$ расходится.

2. Доказательство расходимости. Пусть теперь для некоторого $n>N$ выполняется неравенство:

$K_n=c_n \frac{a_n}{a_{n+1}}-c_{n+1}\leqslant 0$

или

$c_n \frac{a_n}{a_{n+1}}\leqslant c_{n+1}$.

Разделив обе части этого неравенства на $c_{n+1}\frac{a_n}{a_{n+1}}$ получим:

$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\geqslant \frac{\frac{1}{c_{n+1}}}{\frac{1}{c_n}}$.

Так как по условиям теоремы ряд $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{c_n}$ предполагается расходящимся, то в силу теоремы сравнения, должен расходиться и данный ряд $\sum_{n=1}^\infty a_n$.

Формулировка в предельной форме

Если существует предел: $K=\lim_{n \to \infty} K_n$ то при $K > 0$ ряд сходится, а при $K < 0$ — расходится.

Важные частные случаи

Некоторые другие признаки сходимости рядов являются частными случаями признака Куммера с конкретными видами последовательности $c_n$:

• При $c_n = 1$ — признак Даламбера;
• При $c_n = n$ — признак Раабе;
• При $c_n = n\,\mathrm{ln}\,n$ — признак Бертрана.

Примечания

1. ↑ Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: Наука, 1970.