Признак Дини

Признак Ди́ни — признак поточечной сходимости ряда Фурье. Несмотря на то, что ряд Фурье функции из $L_2([-\pi,\pi])$ сходится к ней в смысле $L_2$-нормы, он вовсе не обязан сходиться к ней поточечно (даже в случае непрерывной функции). Тем не менее, при некоторых дополнительных условиях (например, в случае, когда функция гладкая или хотя бы удовлетворяет условию Гёльдера или Липшица с каким-нибудь положительным показателем) поточечная сходимость всё же имеет место.

Сходимость ряда Фурье в конкретной точке является локальным свойством функции: если две функции совпадают в некоторой окрестности точки $t$, то их ряды Фурье в этой точке сходятся или расходятся одновременно.

Признак Дини устанавливает весьма общее условие такой сходимости. Назван в честь итальянского математика Улисса Ди́ни.

Признак Дини

Положим для $\delta>0$

$\omega_f(t,\delta)=\sup\limits_{s: |s-t|\leqslant \delta}|f(t)-f(s)|$.

(модуль непрерывности функции $f$ в точке $t$).

Если функция $f$ удовлетворяет условию

$\int\limits_{0+}\limits\frac{\omega_f(t,\delta)\,d\delta}{\delta} <+\infty$,

то её ряд Фурье в точке $t$ сходится к $f(t)$ .

---

Замечание. Условия признака Дини выполняются, в частности, при

$\omega_f(t,\delta)\leqslant C\left(\frac1{\mathop{\mathrm{ln}}\frac1\delta}\right)^\gamma,$

где $\gamma>1$ (Это гораздо более слабое условие, чем любое условие Гёльдера). Взять $\gamma=1$ нельзя.

Модифицированный признак Дини

Справедлива также модификация признака Дини для случая, когда функция $f$ имеет разрыв в точке $t$, но, тем не менее, её сужения на промежутки $(t-\varepsilon,t)$ и $(t,t+\varepsilon)$ могут быть продолжены до функций, удовлетворяющих признаку Дини.

Пусть $f_+,f_-$ — некоторые числа. Положим для $\delta>0$

$\omega^+_{f,f_+}(t,\delta):=\sup\limits_{s\in (t,t+\delta)}|f(s)-f_+|$,

$\omega^-_{f,f_-}(t,\delta):=\sup\limits_{s\in (t-\delta,t)}|f(s)-f_-|$.

Если числа $f_+$, $f_-$ и функция $f$ таковы, что

$\int\limits_{0+}\limits\frac{\omega^+_{f,f_+}(t,\delta)\,d\delta}{\delta} <+\infty$,

$\int\limits_{0+}\limits\frac{\omega^-_{f,f_-}(t,\delta)\,d\delta}{\delta} <+\infty$,

то ряд Фурье функции $f$ в точке $t$ сходится к $\frac{f_++f_-}2$.

Признак Дини — Липшица

Если модуль непрерывности функции $f$ в точке $t$ удовлетворяет условию

$\omega_f(t,\delta)=o\left(\frac1{\mathop{\mathrm{ln}}\frac1\delta}\right)$,

то ряд Фурье функции $f$ в точке $t$ сходится к $f(t)$

Точность признаков Дини и Дини — Липшица

Если возрастающая неотрицательная функция $\Omega$ такова, что

$\int\limits_{0+}\limits\frac{\Omega(\delta)\,d\delta}{\delta} =+\infty$,

то существует функция $f$, такая, что

$\omega_f(t,\delta)\leqslant \Omega(\delta)$

при всех достаточно маленьких $\delta$, и ряд Фурье функции $f$ расходится в точке $t$.

Существует функция $f$ с расходящимся в нуле рядом Фурье, удовлетворяющая условию

$\omega_f(0,\delta)=O\left(\frac1{\mathop{\mathrm{ln}}\frac1\delta}\right)$,

Пример применения признака Дини: сумма обратных квадратов

Рассмотрим периодическое продолжение функции $x^2$ с промежутка $[-\pi,\pi)$:

$f(x)=\left(\pi\left\{\frac{x}{\pi}\right\}\right)^2,$

где фигурные скобки означают дробную часть числа. Несложно найти разложение этой функции в ряд Фурье:

$f(x) \sim \frac{\pi^2}3+4\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n^2}\cos nx$

Подставляя $x=0$ и $x=\pi$, и пользуясь для обоснования поточечной сходимости соответственно обычным и модифицированным признаком Дини, получаем равенства:

$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}=\frac{\pi^2}{12}$

и

$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$.

См. также

• Теорема Дини